역수 회귀분석이란?
역수 회귀분석(reciprocal regression)은 짝지은 관측값들을 \(y = A + B/x\) 모형에 적합시키는 방법입니다. 어떤 값이 1/x에 비례해 줄어드는 상황, 즉 x가 작을 때는 반응이 크고 x가 커질수록 일정한 기준값 A에 가까워지는 경우에 가장 자연스럽게 어울리는 곡선이죠. 이 모형은 변환된 설명변수 \(u = 1/x\)에 대해 선형이기 때문에, 보통의 최소제곱법으로 정확하게 풀 수 있습니다. 수학·통계 전반에서 통용되는 도구로, 공식은 어느 나라에서나 동일합니다.
사용 방법
데이터는 한 줄에 한 점씩 x, y 형식(쉼표 또는 공백으로 구분)으로 입력하세요. 최소 2개의 점이 필요하며, 모형이 1/x를 사용하므로 모든 x는 0이 아니어야 합니다. 출력 결과에 표시할 유효숫자 자릿수를 선택할 수 있는데, 이는 표시 형식에만 영향을 줄 뿐 내부 계산에는 영향을 주지 않습니다. 계산기는 절편 A, 분자 계수 B, 1/x와 y 사이의 상관계수 \(r\), 값이 모두 대입된 방정식, 그리고 산점도 위에 겹쳐 그릴 수 있도록 표본화된 적합 곡선을 함께 돌려줍니다.
공식 풀이
각 점마다 \(u_i = 1/x_i\)를 계산한 뒤, y를 u에 대해 단순 선형 회귀합니다. 평균 \(\bar{u}\)와 \(\bar{y}\)를 이용해 다음을 구합니다.
$$S_{uu} = \sum u^2 - n\cdot\bar{u}^2, \quad S_{uy} = \sum (u\cdot y) - n\cdot\bar{u}\cdot\bar{y}, \quad S_{yy} = \sum y^2 - n\cdot\bar{y}^2$$그러면 기울기, 절편, 상관계수는 각각 다음과 같습니다.
$$B = \frac{S_{uy}}{S_{uu}}, \quad A = \bar{y} - B\cdot\bar{u}, \quad r = \frac{S_{uy}}{\sqrt{S_{uu}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}$$
예제로 보는 계산
x = [1, 2, 3, 4, 5], y = [6, 3, 2, 1.5, 1.2]인 경우를 봅시다. \(\bar{u} = 0.456667\), \(\bar{y} = 2.74\), \(S_{uu} = 0.420889\), \(S_{uy} = 2.525333\), \(S_{yy} = 15.152\)입니다. 따라서 다음과 같습니다.
$$B = \frac{2.525333}{0.420889} = 6.000$$$$A = 2.74 - 6\cdot 0.456667 = 0.000$$$$r = \frac{2.525333}{0.648759\cdot 3.892557} = 1.000$$적합 결과는 정확히 \(y = 6/x\)로, 완벽한 역수 관계를 보여줍니다.
자주 묻는 질문
x는 왜 0이 아니어야 하나요? 모형이 1/x를 사용하는데 x = 0에서는 정의되지 않기 때문입니다. 따라서 그런 행은 건너뛰고 결과에 알려 드립니다.
여기서 \(r\)은 무엇을 의미하나요? 1/x가 y를 선형으로 얼마나 잘 예측하는지를 나타냅니다. \(|r|\)이 0.7 이상이면 강한 상관, 0.4~0.7이면 보통, 0.2~0.4면 약함, 0.2 미만이면 상관이 거의 없음을 뜻합니다.
언제 적합이 실패하나요? 모든 x 값이 같으면 1/x가 전부 동일해져 \(S_{uu} = 0\)이 되고, 기울기를 구할 수 없습니다.
