Máy Tính Hồi Quy Nghịch Đảo (y = A + B/x)

Nhập phép tính

Data (table input): one point per line as x, y 1, 6.0 2, 3.0 3, 2.0 4, 1.5 5, 1.2 Nhập mỗi cặp (x, y) trên một dòng riêng, cách nhau bằng dấu phẩy hoặc khoảng trắng. x phải khác 0. Tối thiểu 2 điểm.

Số chữ số có nghĩa 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Kết quả

Phương trình hồi quy nghịch đảo đã khớp

y = 0.0 + (6.0)/x

mô hình: y = A + B/x

A (hệ số chặn)	0.0
B (hệ số tử số)	6.0
Hệ số tương quan r	1.0
Số điểm dữ liệu được dùng (n)	5

Mức độ tương quan: strong correlation (|r| = 1).
Các điểm trên đường cong khớp (x, y): 1.0,6.0; 1.1,5.455; 1.2,5.0; 1.3,4.615; 1.4,4.286; 1.5,4.0; 1.6,3.75; 1.7,3.529; 1.8,3.333; 1.9,3.158; 2.0,3.0; 2.1,2.857; 2.2,2.727; 2.3,2.609; 2.4,2.5; 2.5,2.4; 2.6,2.308; 2.7,2.222; 2.8,2.143; 2.9,2.069; 3.0,2.0; 3.1,1.935; 3.2,1.875; 3.3,1.818; 3.4,1.765; 3.5,1.714; 3.6,1.667; 3.7,1.622; 3.8,1.579; 3.9,1.538; 4.0,1.5; 4.1,1.463; 4.2,1.429; 4.3,1.395; 4.4,1.364; 4.5,1.333; 4.6,1.304; 4.7,1.277; 4.8,1.25; 4.9,1.224; 5.0,1.2

Hồi quy nghịch đảo là gì?

Hồi quy nghịch đảo (còn gọi là hồi quy nghịch biến) là phương pháp khớp một tập các quan sát theo cặp với mô hình \(y = A + B/x\). Đường cong này là lựa chọn tự nhiên khi một đại lượng giảm tỷ lệ với \(1/x\) — ví dụ, khi giá trị phản hồi cao ở những giá trị x nhỏ và dần tiến về một mức nền không đổi A khi x tăng lớn. Vì mô hình tuyến tính theo biến biến đổi \(u = 1/x\), ta có thể giải chính xác bằng phương pháp bình phương tối thiểu thông thường. Đây là công cụ toán học và thống kê phổ quát: công thức giống nhau ở mọi nơi.

Mô hình nghịch đảo \(y = A + B/x\) uốn cong mạnh khi x nhỏ và san phẳng dần về A khi x lớn.

Cách sử dụng

Nhập dữ liệu của bạn, mỗi điểm trên một dòng theo dạng x, y (cách nhau bằng dấu phẩy hoặc khoảng trắng). Bạn cần ít nhất hai điểm, và mọi giá trị x phải khác 0 vì mô hình sử dụng \(1/x\). Chọn số chữ số có nghĩa cho kết quả hiển thị (việc này chỉ ảnh hưởng đến định dạng, không tác động đến phép tính bên trong). Máy tính sẽ trả về hệ số chặn A, hệ số tử số B, hệ số tương quan r giữa \(1/x\) và y, phương trình đã thay đầy đủ các giá trị, cùng một đường cong khớp được lấy mẫu để bạn vẽ chồng lên các điểm phân tán của mình.

Giải thích công thức

Với mỗi điểm, tính \(u_i = 1/x_i\), rồi thực hiện hồi quy tuyến tính đơn giản của y theo u. Dùng các giá trị trung bình uBar và yBar, lập \(S_{uu} = \sum u^2 - n\cdot uBar^2\), \(S_{uy} = \sum (u\cdot y) - n\cdot uBar\cdot yBar\), và \(S_{yy} = \sum y^2 - n\cdot yBar^2\). Khi đó hệ số góc là \(B = S_{uy}/S_{uu}\), hệ số chặn là \(A = yBar - B\cdot uBar\), và hệ số tương quan là \(r = S_{uy} / (\sqrt{S_{uu}} \cdot \sqrt{S_{yy}})\).

$$y = A + \frac{B}{x}$$

$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} u &= \frac{1}{x}, \quad (x,\,y) \in \text{Data Points} \\ B &= \frac{S_{uy}}{S_{uu}} = \frac{\sum u y - n\,\bar{u}\,\bar{y}}{\sum u^2 - n\,\bar{u}^2} \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{u} \end{aligned} \right.$$

Quảng cáo

Thay \(u = 1/x\) biến mô hình nghịch đảo thành đường thẳng, khớp bằng bình phương tối thiểu thông thường.

Ví dụ minh họa

Với x = [1, 2, 3, 4, 5] và y = [6, 3, 2, 1.5, 1.2]: \(uBar = 0.456667\), \(yBar = 2.74\), \(S_{uu} = 0.420889\), \(S_{uy} = 2.525333\), \(S_{yy} = 15.152\). Vậy \(B = 2.525333 / 0.420889 = 6.000\), \(A = 2.74 - 6\cdot 0.456667 = 0.000\), và \(r = 2.525333 / (0.648759 \cdot 3.892557) = 1.000\). Kết quả khớp đúng là \(y = 6/x\), một mối quan hệ nghịch đảo hoàn hảo.

Câu hỏi thường gặp

Tại sao x phải khác 0? Mô hình sử dụng \(1/x\), vốn không xác định tại \(x = 0\), nên mọi dòng dữ liệu như vậy sẽ bị bỏ qua và được báo lại.

r ở đây có ý nghĩa gì? Nó đo mức độ \(1/x\) dự báo y theo tuyến tính tốt đến đâu: \(|r|\) trên 0.7 là mạnh, 0.4–0.7 là trung bình, 0.2–0.4 là yếu, dưới 0.2 là không có tương quan.

Khi nào việc khớp thất bại? Nếu tất cả giá trị x đều bằng nhau, mọi giá trị \(1/x\) sẽ giống hệt nhau, \(S_{uu} = 0\), và không thể xác định được hệ số góc.