حاسبة الانحدار العكسي (y = A + B/x)

أدخل الحساب

Data (table input): one point per line as x، y 1, 6.0 2, 3.0 3, 2.0 4, 1.5 5, 1.2 أدخِل كل زوج (x، y) في سطر مستقل، مفصولًا بفاصلة أو مسافة. يجب أن تكون x مختلفة عن الصفر. والحد الأدنى نقطتان.

عدد الأرقام المعنوية 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

نتائج

معادلة الانحدار العكسي المطابِقة

y = 0.0 + (6.0)/x

النموذج: y = A + B/x

A (الثابت)	0.0
B (معامل البسط)	6.0
معامل الارتباط r	1.0
عدد نقاط البيانات المستخدمة (n)	5

قوة الارتباط: strong correlation (|r| = ١).
نقاط منحنى المطابقة (x، y): 1.0,6.0; 1.1,5.455; 1.2,5.0; 1.3,4.615; 1.4,4.286; 1.5,4.0; 1.6,3.75; 1.7,3.529; 1.8,3.333; 1.9,3.158; 2.0,3.0; 2.1,2.857; 2.2,2.727; 2.3,2.609; 2.4,2.5; 2.5,2.4; 2.6,2.308; 2.7,2.222; 2.8,2.143; 2.9,2.069; 3.0,2.0; 3.1,1.935; 3.2,1.875; 3.3,1.818; 3.4,1.765; 3.5,1.714; 3.6,1.667; 3.7,1.622; 3.8,1.579; 3.9,1.538; 4.0,1.5; 4.1,1.463; 4.2,1.429; 4.3,1.395; 4.4,1.364; 4.5,1.333; 4.6,1.304; 4.7,1.277; 4.8,1.25; 4.9,1.224; 5.0,1.2

ما هو الانحدار العكسي؟

الانحدار العكسي (ويُسمى أيضًا انحدار المقلوب) هو طريقة لمطابقة مجموعة من المشاهدات المزدوجة مع النموذج \(y = A + B/x\). يُعد هذا المنحنى الخيار الطبيعي عندما تتناقص كمية ما بما يتناسب مع \(1/x\) — فمثلًا حين تكون الاستجابة مرتفعة عند قيم x الصغيرة ثم تميل نحو خط أساس ثابت قيمته A كلما كبرت x. ولأن النموذج خطّي بالنسبة إلى المتغير المُحوَّل \(u = 1/x\)، يمكن حلّه تمامًا باستخدام المربعات الصغرى الاعتيادية. وهذه أداة رياضية وإحصائية عامة لا تتقيّد ببلد أو سياق معيّن: المعادلات نفسها صالحة في كل مكان.

$$\begin{gathered} y = A + \frac{B}{x} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} u &= \frac{1}{x}, \quad (x,\,y) \in \text{Data Points} \\ B &= \frac{S_{uy}}{S_{uu}} = \frac{\sum u y - n\,\bar{u}\,\bar{y}}{\sum u^2 - n\,\bar{u}^2} \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{u} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

النموذج العكسي \(y = A + B/x\) ينحني بحدة عند قيم x الصغيرة ويستوي نحو A عند قيم x الكبيرة.

طريقة الاستخدام

أدخِل بياناتك بحيث تكتب نقطة واحدة في كل سطر بالصيغة x، y (مفصولة بفاصلة أو مسافة). تحتاج إلى نقطتين على الأقل، ويجب أن تكون كل قيمة x مختلفة عن الصفر لأن النموذج يستخدم \(1/x\). اختَر عدد الأرقام المعنوية للنتيجة المعروضة (هذا يؤثر في التنسيق فقط لا في الحساب الداخلي). تُرجِع الحاسبة الثابت A، ومعامل البسط B، ومعامل الارتباط r بين \(1/x\) وy، والمعادلة بعد التعويض الكامل، إضافةً إلى عيّنة من نقاط منحنى المطابقة يمكنك رسمها فوق نقاط الانتشار الخاصة بك.

شرح المعادلة

لكل نقطة احسب \(u_i = 1/x_i\)، ثم أجرِ انحدارًا خطّيًا بسيطًا لـ y على u. باستخدام المتوسطين uBar وyBar، كوّن القيم التالية: \(S_{uu} = \sum u^2 - n\cdot \bar{u}^2\)، و\(S_{uy} = \sum (u\cdot y) - n\cdot \bar{u}\cdot \bar{y}\)، و\(S_{yy} = \sum y^2 - n\cdot \bar{y}^2\). عندئذٍ يكون الميل \(B = S_{uy}/S_{uu}\)، والثابت \(A = \bar{y} - B\cdot \bar{u}\)، ومعامل الارتباط \(r = S_{uy} / (\sqrt{S_{uu}} \cdot \sqrt{S_{yy}})\).

اعلان

تعويض \(u = 1/x\) يحوّل النموذج العكسي إلى خط مستقيم يُلائَم بطريقة المربعات الصغرى العادية.

مثال محلول

لنأخذ \(x = [1, 2, 3, 4, 5]\) وy = [6, 3, 2, 1.5, 1.2]: فيكون \(\bar{u} = 0.456667\)، و\(\bar{y} = 2.74\)، و\(S_{uu} = 0.420889\)، و\(S_{uy} = 2.525333\)، و\(S_{yy} = 15.152\). إذن $$B = \frac{2.525333}{0.420889} = 6.000$$ و$$A = 2.74 - 6\cdot 0.456667 = 0.000$$ و$$r = \frac{2.525333}{0.648759 \cdot 3.892557} = 1.000$$ وبذلك تكون المطابقة بالضبط \(y = 6/x\)، أي علاقة عكسية مثالية.

الأسئلة الشائعة

لماذا يجب أن تكون x مختلفة عن الصفر؟ لأن النموذج يستخدم \(1/x\)، وهي قيمة غير معرّفة عند \(x = 0\)، لذا يُتجاهَل أي صف من هذا النوع ويُبلَّغ عنه.

ماذا يعني r هنا؟ يقيس مدى جودة تنبؤ \(1/x\) بـ y خطّيًا: قيمة \(|r|\) أعلى من 0.7 تدل على ارتباط قوي، و0.4–0.7 متوسط، و0.2–0.4 ضعيف، وأقل من 0.2 يعني عدم وجود ارتباط.

متى تفشل المطابقة؟ إذا تساوت جميع قيم x، تصبح كل قيم \(1/x\) متطابقة، وعندها \(S_{uu} = 0\) ويتعذّر تحديد الميل.