Qu'est-ce que la régression inverse ?
La régression inverse (aussi appelée régression réciproque) ajuste un ensemble d'observations appariées au modèle \(y = A + \frac{B}{x}\). Cette courbe s'impose naturellement lorsqu'une grandeur décroît proportionnellement à \(1/x\) — par exemple lorsque la réponse est élevée pour les petites valeurs de \(x\) et tend vers une valeur de référence constante \(A\) à mesure que \(x\) augmente. Comme le modèle est linéaire par rapport au prédicteur transformé \(u = 1/x\), il se résout exactement par la méthode des moindres carrés ordinaires. C'est un outil mathématique et statistique universel : les formules sont les mêmes partout.
Comment l'utiliser
Saisissez vos données à raison d'un point par ligne sous la forme x, y (séparés par une virgule ou un espace). Il vous faut au moins deux points, et chaque \(x\) doit être non nul puisque le modèle fait intervenir \(1/x\). Choisissez le nombre de chiffres significatifs pour l'affichage des résultats (cela n'influe que sur la mise en forme, pas sur le calcul interne). Le calculateur renvoie l'ordonnée à l'origine \(A\), le coefficient du numérateur \(B\), le coefficient de corrélation \(r\) entre \(1/x\) et \(y\), l'équation entièrement développée, ainsi qu'un échantillonnage de la courbe ajustée que vous pouvez tracer sur votre nuage de points.
La formule expliquée
Pour chaque point, calculez \(u_i = 1/x_i\), puis effectuez une régression linéaire simple de \(y\) sur \(u\). À partir des moyennes \(\bar{u}\) et \(\bar{y}\), formez $$S_{uu} = \sum u^2 - n\cdot\bar{u}^2,\quad S_{uy} = \sum (u\cdot y) - n\cdot\bar{u}\cdot\bar{y},\quad S_{yy} = \sum y^2 - n\cdot\bar{y}^2.$$ La pente vaut alors \(B = S_{uy}/S_{uu}\), l'ordonnée à l'origine est \(A = \bar{y} - B\cdot\bar{u}\), et la corrélation s'écrit $$r = \frac{S_{uy}}{\sqrt{S_{uu}} \cdot \sqrt{S_{yy}}}.$$
Exemple résolu
Pour \(x = [1, 2, 3, 4, 5]\) et \(y = [6, 3, 2, 1{.}5, 1{.}2]\) : \(\bar{u} = 0{,}456667\), \(\bar{y} = 2{,}74\), \(S_{uu} = 0{,}420889\), \(S_{uy} = 2{,}525333\), \(S_{yy} = 15{,}152\). On obtient donc $$B = \frac{2{,}525333}{0{,}420889} = 6{,}000,$$ $$A = 2{,}74 - 6\cdot 0{,}456667 = 0{,}000$$ et $$r = \frac{2{,}525333}{0{,}648759 \cdot 3{,}892557} = 1{,}000.$$ L'ajustement est exactement \(y = 6/x\), une relation inverse parfaite.
FAQ
Pourquoi x doit-il être non nul ? Le modèle utilise \(1/x\), qui n'est pas défini en \(x = 0\) ; toute ligne de ce type est donc ignorée et signalée.
Que signifie r ici ? Il mesure la qualité de la prédiction linéaire de \(y\) par \(1/x\) : un \(|r|\) supérieur à \(0{,}7\) est fort, entre \(0{,}4\) et \(0{,}7\) modéré, entre \(0{,}2\) et \(0{,}4\) faible, et inférieur à \(0{,}2\) indique l'absence de corrélation.
Quand l'ajustement échoue-t-il ? Si toutes les valeurs de \(x\) sont identiques, tous les \(1/x\) le sont aussi, \(S_{uu} = 0\) et la pente ne peut pas être déterminée.
