¿Qué es la regresión inversa?
La regresión inversa (también llamada regresión recíproca) ajusta un conjunto de observaciones emparejadas al modelo \(y = A + \frac{B}{x}\). Esta curva es la opción natural cuando una magnitud decae de forma proporcional a \(1/x\): por ejemplo, cuando la respuesta es alta para valores pequeños de x y tiende hacia un valor de referencia constante A a medida que x crece. Como el modelo es lineal respecto al predictor transformado \(u = 1/x\), se puede resolver de forma exacta con mínimos cuadrados ordinarios. Es una herramienta universal de matemáticas y estadística: las fórmulas son las mismas en cualquier parte del mundo.
Cómo usarla
Introduce tus datos con un punto por línea en el formato x, y (separados por coma o espacio). Necesitas al menos dos puntos, y ningún valor de x puede ser cero, ya que el modelo utiliza \(1/x\). Elige el número de cifras significativas con el que quieres mostrar los resultados (esto solo afecta al formato, no al cálculo interno). La calculadora devuelve la ordenada en el origen A, el coeficiente del numerador B, el coeficiente de correlación r entre \(1/x\) e y, la ecuación con todos los valores sustituidos y una curva ajustada muestreada que puedes representar junto a tu nube de puntos.
La fórmula explicada
El modelo completo es:
$$y = A + \frac{B}{x}$$Para cada punto se calcula \(u_i = 1/x_i\) y luego se realiza una regresión lineal simple de y sobre u. A partir de las medias \(\bar{u}\) e \(\bar{y}\), se construyen \(S_{uu} = \sum u^2 - n\,\bar{u}^2\), \(S_{uy} = \sum (u\,y) - n\,\bar{u}\,\bar{y}\) y \(S_{yy} = \sum y^2 - n\,\bar{y}^2\). Entonces la pendiente es \(B = \frac{S_{uy}}{S_{uu}}\), la ordenada en el origen es \(A = \bar{y} - B\,\bar{u}\), y la correlación es \(r = \frac{S_{uy}}{\sqrt{S_{uu}} \cdot \sqrt{S_{yy}}}\).
Ejemplo resuelto
Para x = [1, 2, 3, 4, 5] e y = [6, 3, 2, 1.5, 1.2]: \(\bar{u} = 0.456667\), \(\bar{y} = 2.74\), \(S_{uu} = 0.420889\), \(S_{uy} = 2.525333\), \(S_{yy} = 15.152\). Así que
$$B = \frac{2.525333}{0.420889} = 6.000$$$$A = 2.74 - 6 \cdot 0.456667 = 0.000$$$$r = \frac{2.525333}{0.648759 \cdot 3.892557} = 1.000$$El ajuste resulta ser exactamente \(y = 6/x\), una relación inversa perfecta.
Preguntas frecuentes
¿Por qué x no puede ser cero? El modelo utiliza \(1/x\), que no está definido en \(x = 0\), por lo que cualquier fila de este tipo se omite y se notifica.
¿Qué significa r en este caso? Mide hasta qué punto \(1/x\) predice y de forma lineal: \(|r|\) por encima de 0.7 es fuerte, entre 0.4 y 0.7 moderado, entre 0.2 y 0.4 débil y por debajo de 0.2 indica ausencia de correlación.
¿Cuándo falla el ajuste? Si todos los valores de x son iguales, todos los \(1/x\) son idénticos, \(S_{uu} = 0\) y la pendiente no puede determinarse.
