Калькулятор обратной регрессии (y = A + B/x)

Введите расчет

Data (table input): one point per line as x, y 1, 6.0 2, 3.0 3, 2.0 4, 1.5 5, 1.2 Введите каждую пару (x, y) в отдельной строке, через запятую или пробел. x должно быть отличным от нуля. Минимум 2 точки.

Значащие цифры 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Результатов

Уравнение подогнанной обратной регрессии

y = 0.0 + (6.0)/x

модель: y = A + B/x

A (свободный член)	0.0
B (коэффициент при числителе)	6.0
Коэффициент корреляции r	1.0
Использовано точек данных (n)	5

Сила корреляции: strong correlation (|r| = 1).
Точки подогнанной кривой (x, y): 1.0,6.0; 1.1,5.455; 1.2,5.0; 1.3,4.615; 1.4,4.286; 1.5,4.0; 1.6,3.75; 1.7,3.529; 1.8,3.333; 1.9,3.158; 2.0,3.0; 2.1,2.857; 2.2,2.727; 2.3,2.609; 2.4,2.5; 2.5,2.4; 2.6,2.308; 2.7,2.222; 2.8,2.143; 2.9,2.069; 3.0,2.0; 3.1,1.935; 3.2,1.875; 3.3,1.818; 3.4,1.765; 3.5,1.714; 3.6,1.667; 3.7,1.622; 3.8,1.579; 3.9,1.538; 4.0,1.5; 4.1,1.463; 4.2,1.429; 4.3,1.395; 4.4,1.364; 4.5,1.333; 4.6,1.304; 4.7,1.277; 4.8,1.25; 4.9,1.224; 5.0,1.2

Что такое обратная регрессия?

Обратная регрессия (её также называют гиперболической или регрессией по обратной величине) подгоняет набор парных наблюдений к модели \(y = A + B/x\). Такая кривая — естественный выбор, когда величина убывает пропорционально \(1/x\): например, отклик велик при малых \(x\) и стремится к постоянному уровню \(A\) по мере роста \(x\). Поскольку модель линейна относительно преобразованного предиктора \(u = 1/x\), её можно точно решить обычным методом наименьших квадратов. Это универсальный инструмент математики и статистики — формулы одинаковы во всех странах.

Обратная модель \(y = A + B/x\) резко изгибается при малых \(x\) и выходит на уровень \(A\) при больших \(x\).

Как пользоваться

Введите данные по одной точке в строке в формате x, y (через запятую или пробел). Нужно минимум две точки, и каждое значение \(x\) должно быть отличным от нуля, ведь в модели используется \(1/x\). Выберите число значащих цифр для вывода результата (это влияет только на форматирование, но не на сами вычисления). Калькулятор вернёт свободный член \(A\), коэффициент при числителе \(B\), коэффициент корреляции \(r\) между \(1/x\) и \(y\), полностью подставленное уравнение, а также точки подогнанной кривой, которые можно наложить на диаграмму рассеяния.

Разбор формулы

Для каждой точки вычислите \(u_i = 1/x_i\), а затем постройте простую линейную регрессию \(y\) по \(u\). Используя средние \(\bar{u}\) и \(\bar{y}\), найдите $$S_{uu} = \sum u^2 - n\cdot\bar{u}^2,$$ $$S_{uy} = \sum (u\cdot y) - n\cdot\bar{u}\cdot\bar{y}$$ и $$S_{yy} = \sum y^2 - n\cdot\bar{y}^2.$$ Тогда наклон равен $$B = \frac{S_{uy}}{S_{uu}},$$ свободный член $$A = \bar{y} - B\cdot\bar{u},$$ а корреляция $$r = \frac{S_{uy}}{\sqrt{S_{uu}} \cdot \sqrt{S_{yy}}}.$$

Реклама

Замена \(u = 1/x\) превращает обратную модель в прямую, подгоняемую методом наименьших квадратов.

Разобранный пример

Для \(x = [1, 2, 3, 4, 5]\) и \(y = [6, 3, 2, 1.5, 1.2]\): \(\bar{u} = 0.456667\), \(\bar{y} = 2.74\), \(S_{uu} = 0.420889\), \(S_{uy} = 2.525333\), \(S_{yy} = 15.152\). Отсюда $$B = \frac{2.525333}{0.420889} = 6.000,$$ $$A = 2.74 - 6\cdot 0.456667 = 0.000,$$ а $$r = \frac{2.525333}{0.648759 \cdot 3.892557} = 1.000.$$ Подгонка даёт ровно \(y = 6/x\) — идеальную обратную зависимость.

Частые вопросы

Почему x не может быть нулём? В модели используется \(1/x\), что не определено при \(x = 0\), поэтому любая такая строка пропускается, о чём сообщается в результате.

Что означает r в этом случае? Оно показывает, насколько хорошо \(1/x\) линейно предсказывает \(y\): \(|r|\) выше 0.7 — сильная связь, 0.4–0.7 — умеренная, 0.2–0.4 — слабая, ниже 0.2 — корреляции нет.

Когда подгонка невозможна? Если все значения \(x\) одинаковы, то все \(1/x\) совпадают, \(S_{uu} = 0\), и наклон определить нельзя.