Ters Regresyon Hesaplayıcı (y = A + B/x)

Hesaplamaya Girin

Data (table input): one point per line as x, y 1, 6.0 2, 3.0 3, 2.0 4, 1.5 5, 1.2 Her (x, y) çiftini ayrı bir satıra, virgül veya boşlukla ayırarak girin. x sıfırdan farklı olmalıdır. En az 2 nokta gereklidir.

Anlamlı basamak sayısı 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Sonuç

Uydurulmuş ters regresyon denklemi

y = 0.0 + (6.0)/x

model: y = A + B/x

A (kesim noktası)	0.0
B (pay katsayısı)	6.0
Korelasyon katsayısı r	1.0
Kullanılan veri noktası sayısı (n)	5

Korelasyon gücü: strong correlation (|r| = 1).
Uydurma eğri noktaları (x, y): 1.0,6.0; 1.1,5.455; 1.2,5.0; 1.3,4.615; 1.4,4.286; 1.5,4.0; 1.6,3.75; 1.7,3.529; 1.8,3.333; 1.9,3.158; 2.0,3.0; 2.1,2.857; 2.2,2.727; 2.3,2.609; 2.4,2.5; 2.5,2.4; 2.6,2.308; 2.7,2.222; 2.8,2.143; 2.9,2.069; 3.0,2.0; 3.1,1.935; 3.2,1.875; 3.3,1.818; 3.4,1.765; 3.5,1.714; 3.6,1.667; 3.7,1.622; 3.8,1.579; 3.9,1.538; 4.0,1.5; 4.1,1.463; 4.2,1.429; 4.3,1.395; 4.4,1.364; 4.5,1.333; 4.6,1.304; 4.7,1.277; 4.8,1.25; 4.9,1.224; 5.0,1.2

Ters regresyon nedir?

Ters regresyon (resiprokal regresyon olarak da bilinir), eşleştirilmiş gözlemleri \(y = A + B/x\) modeline uydurur. Bu eğri, bir büyüklüğün 1/x ile orantılı olarak azaldığı durumlarda doğal tercihtir; örneğin küçük x değerlerinde yanıt yüksekken, x büyüdükçe yanıtın sabit bir A taban değerine yaklaştığı durumlarda. Model, dönüştürülmüş \(u = 1/x\) değişkeni cinsinden doğrusal olduğundan, sıradan en küçük kareler yöntemiyle tam olarak çözülebilir. Bu, evrensel bir matematik ve istatistik aracıdır: formüller her yerde aynıdır.

Ters model \(y = A + B/x\) küçük x için keskin biçimde kıvrılır ve büyük x için A'ya doğru düzleşir.

Nasıl kullanılır?

Verilerinizi her satıra bir nokta gelecek şekilde x, y biçiminde girin (virgül veya boşlukla ayrılmış). En az iki noktaya ihtiyacınız vardır ve model 1/x kullandığı için her x değeri sıfırdan farklı olmalıdır. Görüntülenen sonuç için anlamlı basamak sayısını seçin (bu yalnızca biçimlendirmeyi etkiler, iç hesaplamayı değil). Hesaplayıcı; A kesim noktasını, B pay katsayısını, 1/x ile y arasındaki korelasyon katsayısı r'yi, tüm değerleri yerine konulmuş denklemi ve saçılım noktalarınızla birlikte çizebileceğiniz örneklenmiş uydurma eğriyi verir.

Formülün açıklaması

Her nokta için \(u_i = 1/x_i\) hesaplayın, ardından y'nin u üzerinde basit doğrusal regresyonunu uygulayın. \(\bar{u}\) ve \(\bar{y}\) ortalamalarını kullanarak şunları oluşturun: $$S_{uu} = \sum u^2 - n\cdot\bar{u}^2,\quad S_{uy} = \sum (u\cdot y) - n\cdot\bar{u}\cdot\bar{y},\quad S_{yy} = \sum y^2 - n\cdot\bar{y}^2.$$ Bu durumda eğim \(B = S_{uy}/S_{uu}\), kesim noktası \(A = \bar{y} - B\cdot\bar{u}\) ve korelasyon \(r = S_{uy} / (\sqrt{S_{uu}} \cdot \sqrt{S_{yy}})\) olur.

Reklam

\(u = 1/x\) yerine koymak ters modeli düz çizgiye dönüştürür ve sıradan en küçük kareler ile uyarlanır.

Çözümlü örnek

\(x = [1, 2, 3, 4, 5]\) ve \(y = [6, 3, 2, 1.5, 1.2]\) için: \(\bar{u} = 0.456667\), \(\bar{y} = 2.74\), \(S_{uu} = 0.420889\), \(S_{uy} = 2.525333\), \(S_{yy} = 15.152\). Buradan $$B = \frac{2.525333}{0.420889} = 6.000,\quad A = 2.74 - 6\cdot 0.456667 = 0.000,\quad r = \frac{2.525333}{0.648759 \cdot 3.892557} = 1.000$$ elde edilir. Uydurma tam olarak \(y = 6/x\)'tir; kusursuz bir ters orantı ilişkisi.

Sıkça sorulan sorular

x neden sıfırdan farklı olmalı? Model 1/x kullanır ve bu ifade x = 0 noktasında tanımsızdır; bu nedenle böyle bir satır atlanır ve bildirilir.

Burada r ne anlama gelir? 1/x'in y'yi doğrusal olarak ne kadar iyi öngördüğünü ölçer: |r| değeri 0.7'nin üzerindeyse güçlü, 0.4–0.7 arası orta, 0.2–0.4 arası zayıf, 0.2'nin altındaysa korelasyon yoktur.

Uydurma ne zaman başarısız olur? Tüm x değerleri eşitse her 1/x aynı olur, \(S_{uu} = 0\) olur ve eğim belirlenemez.