इनवर्स रिग्रेशन क्या है?
इनवर्स रिग्रेशन (जिसे व्युत्क्रम या रेसिप्रोकल रिग्रेशन भी कहा जाता है) युग्मित प्रेक्षणों के समूह को \(y = A + B/x\) मॉडल पर फिट करता है। यह वक्र तब सबसे उपयुक्त रहता है जब कोई मात्रा \(1/x\) के अनुपात में घटती है — उदाहरण के लिए, जब x छोटा होने पर प्रतिक्रिया अधिक होती है और x बढ़ने पर मान किसी स्थिर आधार रेखा A की ओर झुकने लगता है। चूँकि यह मॉडल रूपांतरित चर \(u = 1/x\) के सापेक्ष रैखिक है, इसे सामान्य न्यूनतम वर्ग विधि से बिल्कुल सटीक रूप से हल किया जा सकता है। यह एक सार्वभौमिक गणित एवं सांख्यिकी टूल है: सूत्र हर जगह एक जैसे ही रहते हैं।
$$y = A + \frac{B}{x}$$
इसका उपयोग कैसे करें
अपना डेटा हर पंक्ति में एक बिंदु के रूप में x, y प्रारूप में दर्ज करें (कॉमा या स्पेस से अलग किया हुआ)। आपको कम-से-कम दो बिंदुओं की ज़रूरत है, और हर x का मान शून्य से भिन्न होना चाहिए क्योंकि मॉडल में \(1/x\) का उपयोग होता है। प्रदर्शित परिणाम के लिए सार्थक अंकों की संख्या चुनें (इससे केवल प्रदर्शन का प्रारूप बदलता है, आंतरिक गणना नहीं)। कैलकुलेटर अंतःखंड A, अंश गुणांक B, \(1/x\) और y के बीच सहसंबंध गुणांक \(r\), पूरी तरह प्रतिस्थापित समीकरण, तथा एक सैंपल किया गया फिट वक्र देता है जिसे आप अपने स्कैटर बिंदुओं के सामने आलेखित कर सकते हैं।
सूत्र की व्याख्या
हर बिंदु के लिए \(u_i = 1/x_i\) निकालें, फिर y का u पर सरल रैखिक रिग्रेशन चलाएं। माध्यों uBar और yBar का उपयोग करते हुए \(S_{uu} = \sum u^2 - n\cdot uBar^2\), \(S_{uy} = \sum (u\cdot y) - n\cdot uBar\cdot yBar\), और \(S_{yy} = \sum y^2 - n\cdot yBar^2\) बनाएं। इसके बाद ढाल \(B = S_{uy}/S_{uu}\), अंतःखंड \(A = yBar - B\cdot uBar\), और सहसंबंध \(r = S_{uy} / (\sqrt{S_{uu}} \cdot \sqrt{S_{yy}})\) होगा।
$$\begin{aligned} u &= \frac{1}{x}, \quad (x,\,y) \in \text{Data Points} \\ B &= \frac{S_{uy}}{S_{uu}} = \frac{\sum u y - n\,\bar{u}\,\bar{y}}{\sum u^2 - n\,\bar{u}^2} \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{u} \end{aligned}$$
हल किया हुआ उदाहरण
\(x = [1, 2, 3, 4, 5]\) और \(y = [6, 3, 2, 1.5, 1.2]\) के लिए: \(uBar = 0.456667\), \(yBar = 2.74\), \(S_{uu} = 0.420889\), \(S_{uy} = 2.525333\), \(S_{yy} = 15.152\)। अतः $$B = \frac{2.525333}{0.420889} = 6.000,$$ $$A = 2.74 - 6\cdot 0.456667 = 0.000,$$ और $$r = \frac{2.525333}{0.648759 \cdot 3.892557} = 1.000.$$ यह फिट बिल्कुल \(y = 6/x\) है — एक पूर्ण व्युत्क्रम संबंध।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
x का मान शून्य से भिन्न क्यों होना चाहिए? मॉडल में \(1/x\) का उपयोग होता है, जो \(x = 0\) पर अपरिभाषित है, इसलिए ऐसी कोई भी पंक्ति छोड़ दी जाती है और रिपोर्ट कर दी जाती है।
यहाँ \(r\) का क्या अर्थ है? यह बताता है कि \(1/x\), y का कितनी अच्छी तरह रैखिक रूप से पूर्वानुमान करता है: \(|r|\) 0.7 से ऊपर मज़बूत, 0.4–0.7 मध्यम, 0.2–0.4 कमज़ोर, और 0.2 से कम का अर्थ है कोई सहसंबंध नहीं।
फिट कब असफल होता है? यदि सभी x मान बराबर हों, तो हर \(1/x\) समान होगा, \(S_{uu} = 0\) हो जाएगा, और ढाल निर्धारित नहीं की जा सकती।
