क्वाड्रेटिक रिग्रेशन क्या है?
क्वाड्रेटिक रिग्रेशन में युग्मित आंकड़ों (x, y) के एक समूह पर \(y = A + B\cdot x + C\cdot x^{2}\) रूप का दूसरी घात वाला बहुपद फिट किया जाता है। सीधी रेखा के विपरीत, एक परवलय (parabola) वक्रता को पकड़ सकता है — ऐसे आंकड़े जो पहले बढ़ते हैं फिर घटते हैं, या जिनकी गति तेज़ होती जाती है। यही वजह है कि इसका उपयोग भौतिकी (प्रक्षेप्य गति), अर्थशास्त्र (लागत वक्र), और हर उस स्थिति में होता है जहाँ दो चरों के बीच संबंध मुड़ता है। यह शुद्ध गणित और सांख्यिकी है: यह विधि हर जगह एक जैसी काम करती है और इसमें किसी क्षेत्रीय नियम या इकाई की ज़रूरत नहीं होती।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
दिए गए बॉक्स में अपने डेटा बिंदु दर्ज करें — हर लाइन में एक जोड़ा, और x तथा y के बीच स्पेस या कॉमा लगाएं (उदाहरण के लिए 3, 5)। तीन गुणांकों A, B और C को निकालने के लिए आपको कम से कम तीन बिंदुओं की ज़रूरत होगी; जितने ज़्यादा बिंदु, उतना ही भरोसेमंद फिट। इसके बाद चुनें कि कितने सार्थक अंक (significant digits) दिखाने हैं, फिर A, B, C, तैयार रिग्रेशन समीकरण और सहसंबंध गुणांक \(r\) पढ़ें।
सूत्र की व्याख्या
गुणांक लीस्ट स्क्वेयर्स विधि से निकलते हैं। \(n\) बिंदुओं के साथ, पहले माध्य \(\bar{x}\), \(\bar{y}\) और वर्गों का माध्य \(\overline{x^2}\) निकालें। फिर रॉ-मोमेंट सर्वसमिकाओं की मदद से केंद्रित योग \(S_{xx}\), \(S_{xy}\), \(S_{xx^2}\), \(S_{x^2x^2}\) और \(S_{x^2y}\) बनाएं (जैसे \(S_{xx} = \Sigma x^{2} - n\cdot\bar{x}^{2}\))। \(\text{denom} = S_{xx}\cdot S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}\) मानने पर गुणांक होते हैं
$$y = A + Bx + Cx^{2}$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}\,S_{x^2x^2} - S_{x^2y}\,S_{xx^2}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ C &= \frac{S_{x^2y}\,S_{xx} - S_{xy}\,S_{xx^2}}{S_{xx}\,S_{x^2x^2} - S_{xx^2}^{2}} \\ A &= \bar{y} - B\,\bar{x} - C\,\overline{x^2} \end{aligned} \right.$$सहसंबंध गुणांक \(r\), अवशिष्ट वर्गों के योग को कुल वर्गों के योग से भाग देने पर मिले अनुपात को 1 में से घटाकर उसका वर्गमूल लेने से प्राप्त होता है।
हल किया गया उदाहरण
बिंदुओं (1,1), (2,2), (3,5), (4,10), (5,17) के लिए: \(n = 5\), \(\bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 7\), \(\overline{x^2} = 11\)। इससे मिलता है \(S_{xx} = 10\), \(S_{xy} = 40\), \(S_{xx^2} = 60\), \(S_{x^2x^2} = 374\), \(S_{x^2y} = 254\), \(\text{denom} = 140\)। फिर \(B = -2\), \(C = 1\), \(A = 2\)। फिट होता है \(y = 2 - 2x + x^{2}\), जो हर बिंदु से ठीक-ठीक गुज़रता है, इसलिए \(r = 1\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
मुझे कितने बिंदुओं की ज़रूरत है? कम से कम तीन अलग-अलग x-मान चाहिए; इससे कम होने पर, या सभी x बराबर होने पर, तंत्र अपह्रासी (degenerate) हो जाता है और हल नहीं किया जा सकता।
\(r\) का क्या मतलब है? मोटे तौर पर, \(0.7 < |r| \le 1\) मज़बूत संबंध है, \(0.4 < |r| < 0.7\) मध्यम, \(0.2 < |r| < 0.4\) कमज़ोर, और \(0.2\) से नीचे लगभग नगण्य। \(1\) का मान दर्शाता है कि परवलय हर बिंदु से गुज़रता है।
यहाँ \(r\) कभी ऋणात्मक क्यों नहीं होता? यह कैलकुलेटर निर्धारण गुणांक (coefficient of determination) का ऋण-रहित वर्गमूल बताता है, इसलिए वक्र की दिशा चाहे जो हो, \(r\) का मान 0 से 1 के बीच ही रहता है।
