कोणीय संवेग क्या होता है?
कोणीय संवेग (L) रेखीय संवेग का घूर्णीय रूप है। यह बताता है कि किसी वस्तु में कितनी घूर्णन गति है और उस घूर्णन को रोकना कितना कठिन है। एक नियत अक्ष के परितः घूमते हुए दृढ़ पिंड के लिए, कोणीय संवेग उसके जड़त्व आघूर्ण (I) और कोणीय वेग (ω) के गुणनफल के बराबर होता है: $$L = I \times \omega$$ इसकी SI इकाई किलोग्राम-मीटर वर्ग प्रति सेकंड (kg·m²/s) है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
वस्तु का जड़त्व आघूर्ण kg·m² में और कोणीय वेग रेडियन प्रति सेकंड (rad/s) में दर्ज करें। कैलकुलेटर दोनों को गुणा करके कोणीय संवेग बता देगा। अगर आपका कोणीय वेग चक्कर प्रति मिनट (RPM) में है, तो पहले उसे बदल लें: \(\omega \, (\text{rad/s}) = \text{RPM} \times 2\pi / 60\)।
फ़ॉर्मूला को समझें
$$L = I \times \omega$$ में, जड़त्व आघूर्ण I यह दर्शाता है कि द्रव्यमान घूर्णन अक्ष के सापेक्ष किस तरह बँटा हुआ है — बड़ा I का अर्थ है कि द्रव्यमान अक्ष से ज़्यादा दूर है और घूर्णन को बदलना कठिन है। कोणीय वेग ω रेडियन प्रति सेकंड में घूर्णन की दर है। चूँकि बाहरी बल-आघूर्ण (टॉर्क) न होने पर कोणीय संवेग संरक्षित रहता है, इसीलिए जब कोई स्केटर अपनी बाँहें अंदर खींचता है तो वह तेज़ घूमने लगता है (I घटने पर ω बढ़ जाता है ताकि L स्थिर बना रहे)।
हल किया हुआ उदाहरण
एक ठोस चक्रिका (डिस्क) का जड़त्व आघूर्ण 2 kg·m² है और यह 5 rad/s के कोणीय वेग से घूम रही है। तब $$L = 2 \times 5 = 10 \ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$$ यदि कोणीय वेग दोगुना होकर 10 rad/s हो जाए, तो कोणीय संवेग भी दोगुना होकर 20 kg·m²/s हो जाएगा।
सामान्य आकृतियों के लिए जड़त्व आघूर्ण
जड़त्व आघूर्ण \(I\) घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान वितरण पर निर्भर करता है। नीचे दी गई तालिका आदर्शित कठोर पिंडों के लिए मानक सूत्र देती है, जहाँ \(M\) कुल द्रव्यमान है, \(R\) त्रिज्या है, और \(L\) लंबाई है। प्रत्येक सूत्र संकेत किए गए अक्ष को मानता है।
| पिंड | अक्ष | जड़त्व आघूर्ण \(I\) |
|---|---|---|
| ठोस गोला | केंद्र के माध्यम से (व्यास) | \(\tfrac{2}{5}MR^2\) |
| खोखला (पतला-शेल) गोला | केंद्र के माध्यम से (व्यास) | \(\tfrac{2}{3}MR^2\) |
| ठोस बेलन / डिस्क | केंद्रीय अक्ष (लंबाई के साथ) | \(\tfrac{1}{2}MR^2\) |
| पतली वलय / कड़ी | केंद्रीय अक्ष (समतल के लंबवत) | \(MR^2\) |
| पतली छड़ | केंद्र के माध्यम से, छड़ के लंबवत | \(\tfrac{1}{12}ML^2\) |
| पतली छड़ | एक सिरे के माध्यम से, छड़ के लंबवत | \(\tfrac{1}{3}ML^2\) |
उदाहरण के लिए, \(M = 2\ \text{kg}\) और \(R = 0.3\ \text{m}\) वाली एक ठोस डिस्क का \(I = \tfrac{1}{2}(2)(0.3)^2 = \) 0.09 kg·m²। कोणीय गति की गणना करने से पहले आप एक जड़त्व आघूर्ण कैलकुलेटर के साथ आकृति-विशिष्ट मानों की पुष्टि कर सकते हैं।
मुख्य शब्द और चर
- कोणीय गति, \(L\)
- रैखिक गति का घूर्णनात्मक समतुल्य, जिसे \(L = I\omega\) के रूप में परिभाषित किया जाता है। SI इकाई: किलोग्राम-मीटर-वर्ग प्रति सेकंड (kg·m²/s), समतुल्य रूप से N·m·s। यह एक सदिश है जो घूर्णन अक्ष के साथ निर्दिष्ट है।
- जड़त्व आघूर्ण, \(I\)
- यह मापता है कि घूर्णन अक्ष के बारे में द्रव्यमान कैसे वितरित है, कोणीय त्वरण के प्रतिरोध को निर्धारित करता है। SI इकाई: किलोग्राम-मीटर-वर्ग (kg·m²)। बड़ा \(I\) का अर्थ है कि घूर्णन को बदलने के लिए अधिक टॉर्क की आवश्यकता है।
- कोणीय वेग, \(\omega\)
- कोणीय स्थिति के परिवर्तन की दर। SI इकाई: रेडियन प्रति सेकंड (rad/s)। घूर्णनात्मक गति से \(\omega = 2\pi f\) और \(\omega = \text{RPM}\times 2\pi/60\) द्वारा संबंधित।
- बलाघूर्ण, \(\tau\)
- बल का घूर्णनात्मक समतुल्य। यह कोणीय गति के समय परिवर्तन दर के बराबर है, \(\tau = \dfrac{dL}{dt}\), और स्थिर \(I\) के लिए \(\tau = I\alpha\) तक कम हो जाता है। SI इकाई: न्यूटन-मीटर (N·m)।
- कोणीय गति का संरक्षण
- जब किसी तंत्र पर शुद्ध बाहरी बलाघूर्ण शून्य हो, तो कुल कोणीय गति स्थिर रहती है: \(I_1\omega_1 = I_2\omega_2\)। यही कारण है कि एक घूमता हुआ स्केटर अपनी भुजाएं अंदर खींचने पर तेजी से आगे बढ़ता है — \(I\) घटता है, इसलिए \(\omega\) बढ़ता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल (FAQ)
मुझे कौन-सी इकाइयाँ इस्तेमाल करनी चाहिए? कोणीय संवेग kg·m²/s में पाने के लिए जड़त्व आघूर्ण के लिए kg·m² और कोणीय वेग के लिए rad/s का उपयोग करें।
RPM को rad/s में कैसे बदलें? RPM के मान को 2π से गुणा करें और 60 से भाग दें। उदाहरण के लिए, \(60 \ \text{RPM} = 60 \times 6.2832 / 60 = 6.283 \ \text{rad/s}\)।
क्या कोणीय संवेग एक सदिश राशि है? हाँ, इसकी दिशा घूर्णन अक्ष के अनुदिश होती है (दाएँ-हाथ के नियम से तय होती है), पर एक ही नियत अक्ष के लिए हम आमतौर पर इसके परिमाण के साथ ही काम करते हैं, जैसा यहाँ दिखाया गया है।
