角運動量とは？
角運動量（L）は、直線運動における運動量に対応する「回転版の運動量」です。物体がどれだけ激しく回転しているか、そしてその回転をどれだけ止めにくいかを表します。固定軸まわりに回転する剛体の場合、角運動量は慣性モーメント（I）と角速度（ω）の積で求められます。$$L = I \times \omega$$ です。SI単位はキログラム・平方メートル毎秒（kg·m²/s）です。
この計算ツールの使い方
物体の慣性モーメントを kg·m²、角速度を ラジアン毎秒（rad/s）で入力してください。ツールが両者を掛け合わせて角運動量を算出します。角速度が回転数（RPM）で与えられている場合は、先に次の式で変換してください。\( \omega \)（rad/s）\( = \text{RPM} \times 2\pi \div 60 \)。
公式の解説
$$L = I \times \omega$$ において、慣性モーメント \(I\) は回転軸に対する質量の分布のしかたを表します。\(I\) が大きいほど質量が軸から遠くにあり、回転の状態を変えにくくなります。角速度 \(\omega\) はラジアン毎秒で表した回転の速さです。外部からトルクがはたらかないとき角運動量は保存されるため、回転中のフィギュアスケート選手が腕を引き寄せると（\(I\) が小さくなる分 \(\omega\) が大きくなり、\(L\) が一定に保たれて）回転が速くなるのです。
計算例
慣性モーメントが 2 kg·m² の中実円板が、角速度 5 rad/s で回転しているとします。このとき $$L = 2 \times 5 = 10 {\text{ kg}\cdot\text{m}}^2/\text{s}$$ となります。角速度が 2倍の 10 rad/s になれば、角運動量も 2倍の 20 kg·m²/s になります。
一般的な形状の慣性モーメント
慣性モーメント \(I\) は回転軸に対する質量分布に依存します。以下の表は、理想化された剛体に対する標準的な公式を示しており、\(M\) は全質量、\(R\) は半径、\(L\) は長さです。各公式は指定された軸を仮定しています。
| 物体 | 軸 | 慣性モーメント \(I\) |
|---|---|---|
| 実心球 | 中心を通る（直径方向） | \(\tfrac{2}{5}MR^2\) |
| 中空（薄殻）球 | 中心を通る（直径方向） | \(\tfrac{2}{3}MR^2\) |
| 実心円柱／ディスク | 中心軸（長さ方向） | \(\tfrac{1}{2}MR^2\) |
| 薄いフープ／リング | 中心軸（平面に垂直） | \(MR^2\) |
| 薄い棒 | 中心を通り、棒に垂直 | \(\tfrac{1}{12}ML^2\) |
| 薄い棒 | 一端を通り、棒に垂直 | \(\tfrac{1}{3}ML^2\) |
例えば、\(M = 2\ \text{kg}\)、\(R = 0.3\ \text{m}\) の実心ディスクの場合、\(I = \tfrac{1}{2}(2)(0.3)^2 = \) 0.09 kg·m² です。角運動量を計算する前に、慣性モーメント計算機で形状固有の値を確認できます。
主要用語と変数
- 角運動量、\(L\)
- 線運動量の回転類似体で、\(L = I\omega\) で定義されます。SI単位：キログラム・メートル二乗毎秒（kg·m²/s）、または N·m·s と等価です。これは回転軸に沿って向いたベクトルです。
- 慣性モーメント、\(I\)
- 回転軸周りの質量分布の尺度で、角加速度への抵抗を定量化します。SI単位：キログラム・メートル二乗（kg·m²）。\(I\) が大きいほど、回転を変更するためにより大きなトルクが必要になります。
- 角速度、\(\omega\)
- 角位置の変化率。SI単位：ラジアン毎秒（rad/s）。回転速度との関係は \(\omega = 2\pi f\) および \(\omega = \text{RPM}\times 2\pi/60\) で示されます。
- トルク、\(\tau\)
- 力の回転類似体。角運動量の時間変化率に等しく、\(\tau = \dfrac{dL}{dt}\) であり、\(I\) が一定の場合は \(\tau = I\alpha\) に簡約されます。SI単位：ニュートン・メートル（N·m）。
- 角運動量の保存
- システムに対する正味外部トルクがゼロの場合、全角運動量は一定に保たれます：\(I_1\omega_1 = I_2\omega_2\)。これが回転するスケーターが腕を引き寄せると速くなる理由です — \(I\) が減少するため、\(\omega\) が増加します。
よくある質問
どの単位を使えばいいですか？ 慣性モーメントは kg·m²、角速度は rad/s を使えば、角運動量は kg·m²/s で得られます。
RPM を rad/s に変換するには？ RPM の値に \(2\pi\) を掛けて 60 で割ります。たとえば \( 60 \text{ RPM} = 60 \times 6.2832 \div 60 = 6.283 \text{ rad/s} \) です。
角運動量はベクトルですか？ はい。回転軸に沿った向き（右手の法則で決まります）を持ちます。ただし固定軸が1つの場合は、ここで示したようにその大きさだけを扱うのが一般的です。
