什麼是角動量？
角動量（L）是線動量在旋轉運動中的對應量，用來衡量一個物體擁有多少旋轉運動，以及要讓它停止旋轉有多困難。對於繞固定軸旋轉的剛體而言，角動量等於轉動慣量（I）與角速度（ω）的乘積：$$L = I \times \omega$$其國際單位（SI）為千克・平方公尺每秒（kg·m²/s）。
計算器使用說明
請以 kg·m² 為單位輸入物體的轉動慣量，並以弧度每秒（rad/s）為單位輸入角速度。計算器會將兩者相乘，得出角動量。若你的角速度是以每分鐘轉數（RPM）表示，請先換算：\(\omega\,(\text{rad/s}) = \text{RPM} \times 2\pi / 60\)。
公式詳解
在 $$L = I \times \omega$$ 這個公式中，轉動慣量 \(I\) 描述質量相對於旋轉軸的分布情形——\(I\) 越大，代表質量距離轉軸越遠，要改變其旋轉狀態就越困難。角速度 \(\omega\) 則是旋轉的快慢，以弧度每秒為單位。由於在沒有外力矩作用時角動量守恆，因此花式滑冰選手收起雙臂時會轉得更快（縮小 \(I\) 使 \(\omega\) 增加，以維持 \(L\) 不變）。
實例演算
假設一個實心圓盤的轉動慣量為 2 kg·m²，並以 5 rad/s 的角速度旋轉，則 $$L = 2 \times 5 = 10 \ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$$若角速度加倍至 10 rad/s，角動量也會隨之加倍，變成 20 kg·m²/s。
常見問答
應該使用哪些單位？轉動慣量請使用 kg·m²，角速度請使用 rad/s，這樣算出的角動量單位即為 kg·m²/s。
如何把 RPM 換算成 rad/s？將 RPM 數值乘以 2π，再除以 60。例如：\(60\ \text{RPM} = 60 \times 6.2832 / 60 = 6.283\ \text{rad/s}\)。
角動量是向量嗎？是的，角動量具有方向，沿著旋轉軸（由右手定則決定）；但若只針對單一固定軸，我們通常如本計算器所示，只處理它的大小（純量值）。
常見形狀的轉動慣量
轉動慣量 \(I\) 取決於相對於旋轉軸的質量分佈。下表給出了理想剛體的標準公式，其中 \(M\) 為總質量，\(R\) 為半徑，\(L\) 為長度。每個公式都假設了所示的軸。
| 物體 | 軸 | 轉動慣量 \(I\) |
|---|---|---|
| 實心球體 | 通過中心（直徑） | \(\tfrac{2}{5}MR^2\) |
| 空心（薄殼）球體 | 通過中心（直徑） | \(\tfrac{2}{3}MR^2\) |
| 實心圓柱體 / 圓盤 | 中心軸（沿長度方向） | \(\tfrac{1}{2}MR^2\) |
| 薄圓環 / 圓環 | 中心軸（垂直於平面） | \(MR^2\) |
| 薄桿 | 通過中心，垂直於桿 | \(\tfrac{1}{12}ML^2\) |
| 薄桿 | 通過一端，垂直於桿 | \(\tfrac{1}{3}ML^2\) |
例如，一個質量為 \(M = 2\ \text{公斤}\) 、半徑為 \(R = 0.3\ \text{公尺}\) 的實心圓盤，其轉動慣量為 \(I = \tfrac{1}{2}(2)(0.3)^2 = \) 0.09 kg·m²。您可以在計算角動量之前，使用轉動慣量計算器來驗證特定形狀的值。
關鍵術語 & 變數
- 角動量，\(L\)
- 線性動量的旋轉類比，定義為 \(L = I\omega\)。國際單位制單位：千克·公尺平方每秒 (kg·m²/s)，等價於 N·m·s。它是一個沿旋轉軸方向的向量。
- 轉動慣量，\(I\)
- 衡量質量在旋轉軸上分佈的量，量化角加速度的抵抗力。國際單位制單位：千克·公尺平方 (kg·m²)。較大的 \(I\) 意味著需要更多的力矩來改變旋轉。
- 角速度，\(\omega\)
- 角位置變化的速率。國際單位制單位：弧度每秒 (rad/s)。與旋轉速度的關係為 \(\omega = 2\pi f\) 和 \(\omega = \text{轉速}\times 2\pi/60\)。
- 力矩，\(\tau\)
- 力的旋轉等效量。它等於角動量的時間變化率，\(\tau = \dfrac{dL}{dt}\)，對於常數 \(I\) 簡化為 \(\tau = I\alpha\)。國際單位制單位：牛頓·公尺 (N·m)。
- 角動量守恆
- 當作用於系統的淨外力矩為零時，總角動量保持恆定：\(I_1\omega_1 = I_2\omega_2\)。這就是為什麼旋轉的滑冰者在收起雙臂時會加速——\(I\) 減小，所以 \(\omega\) 增加。
