什么是角动量？
角动量（L）是线动量在转动中的对应量，用来衡量一个物体的转动运动量有多大、要停止它的转动有多难。对于绕固定轴转动的刚体，角动量等于它的转动惯量（I）与角速度（ω）的乘积：$$L = I \times \omega$$其国际单位制（SI）单位为千克·平方米每秒（kg·m²/s）。
如何使用本计算器
填入物体的转动惯量（单位 kg·m²）和角速度（单位为弧度每秒，rad/s），计算器会将两者相乘，得出角动量。如果你手头的角速度是以转每分钟（RPM）表示的，请先换算：\(\omega\,(\text{rad/s}) = \text{RPM} \times 2\pi / 60\)。
公式详解
在 \(L = I \times \omega\) 中，转动惯量 \(I\) 描述了质量相对于转轴的分布情况——\(I\) 越大，说明质量离转轴越远，转动状态也就越难改变。角速度 \(\omega\) 则是转动的快慢，单位为弧度每秒。由于在没有外力矩作用时角动量守恒，花样滑冰运动员收拢双臂时转速会加快（\(I\) 减小，\(\omega\) 随之增大，从而保持 \(L\) 不变）。
计算示例
一个实心圆盘的转动惯量为 2 kg·m²，以 5 rad/s 的角速度旋转，那么 $$L = 2 \times 5 = 10\ \text{kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$$若角速度翻倍至 10 rad/s，角动量也会随之翻倍，变为 20 kg·m²/s。
常见形状的转动惯量
转动惯量 \(I\) 取决于相对于旋转轴的质量分布。下表给出了理想刚体的标准公式，其中 \(M\) 是总质量，\(R\) 是半径，\(L\) 是长度。每个公式均假设指定的轴。
| 物体 | 轴 | 转动惯量 \(I\) |
|---|---|---|
| 实心球体 | 通过中心（直径） | \(\tfrac{2}{5}MR^2\) |
| 空心（薄壳）球体 | 通过中心（直径） | \(\tfrac{2}{3}MR^2\) |
| 实心圆柱体 / 圆盘 | 中心轴（沿长度方向） | \(\tfrac{1}{2}MR^2\) |
| 薄圆环 / 圆环 | 中心轴（垂直于平面） | \(MR^2\) |
| 细杆 | 通过中心，垂直于杆 | \(\tfrac{1}{12}ML^2\) |
| 细杆 | 通过一端，垂直于杆 | \(\tfrac{1}{3}ML^2\) |
例如，质量为 \(M = 2\ \text{千克}\)、半径为 \(R = 0.3\ \text{米}\) 的实心圆盘的转动惯量为 \(I = \tfrac{1}{2}(2)(0.3)^2 = \) 0.09 千克·米²。在计算角动量之前，您可以使用转动惯量计算器来确认特定形状的值。
关键术语与变量
- 角动量，\(L\)
- 线性动量的旋转类似物，定义为 \(L = I\omega\)。国际单位制单位：千克·米²/秒（kg·m²/s），等同于 N·m·s。它是沿旋转轴指向的向量。
- 转动惯量，\(I\)
- 衡量质量如何围绕旋转轴分布的量度，量化对角加速度的抗性。国际单位制单位：千克·米²（kg·m²）。较大的 \(I\) 意味着需要更多的扭矩来改变旋转。
- 角速度，\(\omega\)
- 角位置变化的速率。国际单位制单位：弧度/秒（rad/s）。与旋转速度的关系为 \(\omega = 2\pi f\) 和 \(\omega = \text{转速}\times 2\pi/60\)。
- 扭矩，\(\tau\)
- 力的旋转等效物。它等于角动量的时间变化率，\(\tau = \dfrac{dL}{dt}\)，对于常数 \(I\) 简化为 \(\tau = I\alpha\)。国际单位制单位：牛·米（N·m）。
- 角动量守恒
- 当作用于系统的净外扭矩为零时，总角动量保持不变：\(I_1\omega_1 = I_2\omega_2\)。这就是为什么旋转的滑冰运动员在收起手臂时会加速——\(I\) 减小，所以 \(\omega\) 增大。
常见问题
应该使用什么单位？转动惯量用 kg·m²，角速度用 rad/s，这样算出的角动量单位就是 kg·m²/s。
如何把 RPM 换算成 rad/s？将 RPM 数值乘以 2π，再除以 60。例如：\(60\ \text{RPM} = 60 \times 6.2832 / 60 = 6.283\ \text{rad/s}\)。
角动量是矢量吗？是的，它的方向沿转轴（由右手定则确定）。不过对于单一固定轴的情况，我们通常只考虑这里所展示的大小（标量值）。
