ما هو الزخم الزاوي؟
الزخم الزاوي (L) هو النظير الدوراني للزخم الخطي، فهو يقيس مقدار الحركة الدورانية التي يمتلكها الجسم ومدى صعوبة إيقاف هذا الدوران. بالنسبة لجسم صلب يدور حول محور ثابت، يساوي الزخم الزاوي حاصل ضرب عزم القصور الذاتي (I) في السرعة الزاوية (ω): $$L = I \times \omega$$. ووحدته في النظام الدولي هي كيلوغرام·متر مربع لكل ثانية (kg·m²/s).
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل عزم القصور الذاتي للجسم بوحدة kg·m² وسرعته الزاوية بوحدة الراديان في الثانية (rad/s). تقوم الحاسبة بضرب القيمتين لتعطيك الزخم الزاوي. وإذا كانت سرعتك الزاوية معطاة بوحدة الدورة في الدقيقة (RPM)، فحوّلها أولًا وفق العلاقة: \(\omega \text{ (rad/s)} = \text{RPM} \times 2\pi / 60\).
شرح الصيغة
في الصيغة $$L = I \times \omega$$، يصف عزم القصور الذاتي \(I\) كيفية توزّع الكتلة بالنسبة إلى محور الدوران؛ فكلما كانت قيمة \(I\) أكبر دلّ ذلك على أن الكتلة أبعد عن المحور وأن تغيير الدوران أصعب. أما السرعة الزاوية \(\omega\) فهي معدّل الدوران بالراديان في الثانية. وبما أن الزخم الزاوي يُحفظ عند غياب أي عزم خارجي مؤثر، فإن المتزلجة التي تدور تزداد سرعتها عند ضمّ ذراعيها إلى جسمها (لأن نقص \(I\) يزيد \(\omega\) حتى يبقى \(L\) ثابتًا).
مثال محلول
قرص مصمت عزم قصوره الذاتي 2 kg·m² ويدور بسرعة زاوية مقدارها 5 rad/s. عندئذٍ يكون $$L = 2 \times 5 = 10 \text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$$. ولو تضاعفت السرعة الزاوية إلى 10 rad/s لتضاعف الزخم الزاوي أيضًا ليصبح 20 kg·m²/s.
عزم القصور الذاتي للأشكال الشائعة
عزم القصور الذاتي \(I\) يعتمد على توزيع الكتلة بالنسبة لمحور الدوران. الجدول أدناه يعطي الصيغ القياسية للأجسام الصلبة المثالية، حيث \(M\) هي الكتلة الكلية، \(R\) هو نصف القطر، و \(L\) هو الطول. كل صيغة تفترض المحور المشار إليه.
| الجسم | المحور | عزم القصور الذاتي \(I\) |
|---|---|---|
| كرة صلبة | عبر المركز (القطر) | \(\tfrac{2}{5}MR^2\) |
| كرة مجوفة (قشرة رقيقة) | عبر المركز (القطر) | \(\tfrac{2}{3}MR^2\) |
| أسطوانة صلبة / قرص | المحور المركزي (على طول الطول) | \(\tfrac{1}{2}MR^2\) |
| حلقة رقيقة / إطار | المحور المركزي (عمودي على المستوى) | \(MR^2\) |
| قضيب رقيق | عبر المركز، عمودي على القضيب | \(\tfrac{1}{12}ML^2\) |
| قضيب رقيق | عبر أحد الطرفين، عمودي على القضيب | \(\tfrac{1}{3}ML^2\) |
على سبيل المثال، قرص صلب بـ \(M = 2\ \text{كجم}\) و \(R = 0.3\ \text{م}\) له \(I = \tfrac{1}{2}(2)(0.3)^2 = \) 0.09 كجم·م². يمكنك التأكد من القيم الخاصة بالشكل باستخدام آلة حاسبة عزم القصور الذاتي قبل حساب الزخم الزاوي.
المصطلحات والمتغيرات الرئيسية
- الزخم الزاوي، \(L\)
- النظير الدوراني للزخم الخطي، معرّف كـ \(L = I\omega\). وحدة النظام الدولي: كيلوجرام·متر مربع لكل ثانية (كجم·م²/ث)، أو بشكل معادل N·m·s. وهو متجه موجه على طول محور الدوران.
- عزم القصور الذاتي، \(I\)
- مقياس لكيفية توزيع الكتلة حول محور الدوران، يحدد المقاومة للتسارع الزاوي. وحدة النظام الدولي: كيلوجرام·متر مربع (كجم·م²). \(I\) الأكبر يعني أن عزماً أكبر مطلوب لتغيير الدوران.
- السرعة الزاوية، \(\omega\)
- معدل تغير الموضع الزاوي. وحدة النظام الدولي: راديان لكل ثانية (راد/ث). مرتبطة بسرعة الدوران بـ \(\omega = 2\pi f\) و \(\omega = \text{دورة}/\text{دقيقة}\times 2\pi/60\).
- العزم، \(\tau\)
- المكافئ الدوراني للقوة. وهو يساوي معدل تغير الزخم الزاوي مع الزمن، \(\tau = \dfrac{dL}{dt}\)، وعند ثبات \(I\) يختزل إلى \(\tau = I\alpha\). وحدة النظام الدولي: نيوتن·متر (N·m).
- حفظ الزخم الزاوي
- عندما يكون صافي العزم الخارجي على نظام ما مساوياً للصفر، يبقى إجمالي الزخم الزاوي ثابتاً: \(I_1\omega_1 = I_2\omega_2\). هذا هو السبب في أن المتزلج الدوار يسرع عند سحب ذراعيه - \(I\) ينخفض، لذلك يزيد \(\omega\).
الأسئلة الشائعة
ما الوحدات التي يجب أن أستخدمها؟ استخدم kg·m² لعزم القصور الذاتي و rad/s للسرعة الزاوية لتحصل على الزخم الزاوي بوحدة kg·m²/s.
كيف أحوّل الدورة في الدقيقة (RPM) إلى rad/s؟ اضرب قيمة RPM في 2π ثم اقسم على 60. على سبيل المثال: \(60 \text{ RPM} = 60 \times 6.2832 / 60 = 6.283 \text{ rad/s}\).
هل الزخم الزاوي كمية متجهة؟ نعم، فله اتجاه على امتداد محور الدوران (يُحدَّد بقاعدة اليد اليمنى)، لكننا عند التعامل مع محور ثابت واحد نكتفي عادةً بمقداره كما هو موضّح هنا.
