ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة المحصلة (مجموع المتجهات) لما يصل إلى أربعة متجهات ثنائية الأبعاد هي A وB وC وD. وتُرجع لك مركبتي المحصلة على المحورين x وy، ومقدارها (طولها)، وزاوية اتجاهها مقيسة عكس عقارب الساعة بدءًا من الاتجاه الموجب للمحور x. وبما أن جمع المتجهات عملية رياضية بحتة، فإن الحاسبة تعمل بالطريقة نفسها في أي مجال، ولا تستخدم أي وحدات فيزيائية — فالمركبات مجرد أعداد حقيقية بأي وحدة متسقة تُدخلها.
طريقة الاستخدام
أدخل كل متجه على هيئة زوج [x، y]. يكفيك متجهان فقط للحصول على المجموع: اترك C وD عند القيمة 0 لجمع A وB فحسب، أو املأ ثلاثة صفوف لجمع A + B + C. والمركبات السالبة مسموح بها وتمثل اتجاهات تشير نحو القيم السالبة على المحاور. اضغط على زر الحساب لتظهر لك مركبات المحصلة وطولها واتجاهها.
شرح المعادلة
يُؤخذ المجموع لكل مركبة على حدة: فمركبة المحصلة على المحور x هي \(v_1 = a_1 + b_1 + c_1 + d_1\)، ومركبتها على المحور y هي \(v_2 = a_2 + b_2 + c_2 + d_2\). أما الطول فهو المقدار الفيثاغوري \(|v| = \sqrt{v_1^{2} + v_2^{2}}\). وتستخدم زاوية الاتجاه دالة الظل العكسي ذات المعاملين \(\theta = \operatorname{atan2}(v_2,\, v_1)\)، التي تحدد الربع الصحيح للزاوية. ونحوّل القيمة إلى درجات ونضيف 360° عند سلبيتها، حتى تقع الزاوية المعروضة ضمن المجال [0، 360).
$$\vec{R} = (R_x,\, R_y), \quad |\vec{R}| = \sqrt{R_x^{2} + R_y^{2}}, \quad \theta = \operatorname{atan2}(R_y,\, R_x)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_x &= \text{A}_x + \text{B}_x + \text{C}_x + \text{D}_x \\ R_y &= \text{A}_y + \text{B}_y + \text{C}_y + \text{D}_y \end{aligned} \right.$$
مثال محلول
لنأخذ A = [3، 1] وB = [1، 2]، مع ترك C وD عند الصفر. عندئذٍ \(v_1 = 3 + 1 = 4\) و\(v_2 = 1 + 2 = 3\). ويكون المقدار $$\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5,$$ والزاوية \(\operatorname{atan2}(3, 4) \approx 36.87\degree\). إذًا المحصلة هي [4، 3]، وطولها 5، واتجاهها نحو 36.87° تقريبًا.
الأسئلة الشائعة
لماذا نستخدم atan2 بدلًا من atan؟ لا يستطيع الظل العكسي العادي التمييز بين الأرباع المتقابلة. فمثلًا المتجه v = [-4، -3] يجب أن يعطي نحو 216.87°، لكن \(\operatorname{atan}(-3 / -4)\) يُرجع 36.87°. أما atan2 ذو المعاملين فيستعين بإشارتي المركبتين معًا لتحديد الربع الصحيح.
ماذا لو كانت المحصلة صفرًا؟ إذا تلاشت المركبتان كلتاهما إلى الصفر، فإن المقدار يساوي 0 وتصبح زاوية الاتجاه غير معرّفة؛ ونعرضها في هذه الحالة على أنها 0°.
هل تحتاج المدخلات إلى وحدات؟ لا. فجمع المتجهات عملية رياضية لا بُعدية. ما عليك سوى إبقاء جميع المركبات بالوحدة المتسقة نفسها، وستكون المحصلة بالوحدة ذاتها أيضًا.
