ما الذي تقوم به هذه الأداة
يحوّل منشئ مخطط الانتشار قائمة من المشاهدات المزدوجة إلى مخطط انتشار بصري مصحوب بمجموعة كاملة من الإحصاءات الموجزة. تجمع كل نقطة بين قيمة مستقلة (س) وقيمة تابعة (ص) — مثل درجة الحرارة الخارجية مقابل مبيعات الآيس كريم. يُظهر المخطط كيف تتحرك الكميتان معًا، بينما تُحدّد الأرقام طبيعة هذه العلاقة كميًا: معامل ارتباط بيرسون \(r\)، ومعامل التحديد مربع R، والمتوسطات والانحرافات المعيارية للعينة لكل متغير، والتباين المشترك للعينة، ومعادلة خط الانحدار الأنسب بطريقة المربعات الصغرى. إنها أداة إحصائية عالمية — تعمل مع أي زوج من الكميات المقيسة، وليست مرتبطة بأي بلد أو نظام وحدات معيّن.
طريقة الاستخدام
اكتب زوجًا واحدًا (س، ص) في كل سطر داخل المربع، مع الفصل بين الرقمين بفاصلة أو مسافة — على سبيل المثال 30, 60. أدخل نقطتين على الأقل؛ وكلما زاد عدد النقاط كان معامل الارتباط أكثر موثوقية. تُتجاهل الأسطر الفارغة أو غير الرقمية. اضغط على «احسب» لرؤية مخطط الانتشار وقد رُسم عليه خط الانحدار المتقطع، إضافة إلى جدول بجميع الإحصاءات الوصفية.
شرح المعادلة
أولًا يُحسب المتوسطان: متوسط س = (مجموع س) ÷ ن، ومتوسط ص = (مجموع ص) ÷ ن. ثم تُجمع الانحرافات عن المتوسط. ميل خط الانحدار الأنسب هو والثابت كما يلي:
$$\begin{gathered} y = m\,x + b \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} m &= \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} \\ b &= \bar{y} - m\,\bar{x} \\ (x_i, y_i) &\in \text{Data Points} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$أما معامل ارتباط بيرسون \(r\) فيساوي مجموع (dx·dy) مقسومًا على الجذر التربيعي لـ (مجموع dx² × مجموع dy²):
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \,\sum (y_i - \bar{y})^2}} \qquad \left(x_i, y_i\right) \in \text{Data Points}$$ومربع R هو ببساطة \(r^2\). وتُستخدم صيغ العينة (ن−1) لحساب التباين والانحراف المعياري والتباين المشترك.
مثال محلول
لنفرض أن س = [22، 24، 26، 28، 30، 32، 34] وأن ص = [25، 30، 38، 45، 60، 70، 78]، فيكون ن = 7، ومتوسط س = 28، ومتوسط ص ≈ 49.43. ومجموع dx² = 112 ومجموع (dx·dy) = 522، ومن ثَمّ يكون الميل \(a = 522 \div 112 \approx 4.661\) والثابت \(b \approx -81.07\)، فينتج الخط \(y = 4.661x - 81.07\). ويبلغ معامل الارتباط \(r \approx 0.991\) ومربع R \(\approx 0.983\) — وهي علاقة خطية طردية قوية.
الأسئلة الشائعة
ماذا يعني معامل الارتباط \(r\)؟ القيم القريبة من +1 تدل على اتجاه خطي متزايد قوي، والقريبة من −1 على اتجاه متناقص قوي، والقريبة من الصفر على علاقة خطية ضعيفة أو معدومة.
ماذا لو كانت جميع قيم س متطابقة؟ عندئذ لا يوجد تباين في س، ويصبح كل من الميل ومعامل الارتباط \(r\) غير معرَّف، ويكون «الخط» الأنسب هو الخط العمودي س = متوسط س.
هل يُثبت الارتباط وجود علاقة سببية؟ لا. القيمة المرتفعة لـ \(r\) تُظهر فقط أن المتغيرين يتحركان معًا؛ وقد يكون عامل ثالث (مثل درجة الحرارة التي ترفع مبيعات القهوة والآيس كريم معًا) هو السبب الحقيقي.
