ما هو معامل الارتباط؟
معامل ارتباط بيرسون، ويُرمز له بالحرف r، يقيس مدى قوة العلاقة الخطية بين متغيرين ومدى تحركهما معًا في خط مستقيم. وتقع قيمته دائمًا بين −1 و+1. فالقيمة القريبة من +1 تدل على علاقة خطية طردية قوية (كلما ارتفعت قيمة X ارتفعت قيمة Y)، والقيمة القريبة من −1 تدل على علاقة عكسية قوية، بينما تشير القيمة القريبة من الصفر إلى ضعف العلاقة الخطية أو انعدامها.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيم X ثم قيم Y المقابلة لها، على أن تفصل بين عناصر كل قائمة بفاصلة أو مسافة. ويجب أن تحتوي القائمتان على العدد نفسه من القيم؛ وإذا اختلف العدد فلن تُستخدم سوى الأزواج المتطابقة الأولى. تعرض لك الحاسبة قيمة r، ومعامل التحديد r²، والتباين المشترك، ومتوسط كل مجموعة، إضافة إلى ميل ونقطة تقاطع خط الانحدار الأمثل.
شرح المعادلة
لكل زوج من القيم نحسب انحراف x عن متوسطه \((x - \bar{x})\) وانحراف y عن متوسطه \((y - \bar{y})\). ثم نجمع حواصل ضرب هذه الانحرافات في البسط، بينما يكون المقام هو الجذر التربيعي لحاصل ضرب مجموع مربعات الانحرافات. وعملية القسمة هذه تُوحِّد النتيجة ضمن النطاق من −1 إلى +1، بحيث يصبح مقدار المعامل مستقلًا عن وحدات القياس المستخدمة.
$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \; \sum (y_i - \bar{y})^2}}$$$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \text{X values} \\ y_i &= \text{Y values} \\ \bar{x} &= \tfrac{1}{n}\textstyle\sum x_i \\ \bar{y} &= \tfrac{1}{n}\textstyle\sum y_i \end{aligned} \right.$$
مثال تطبيقي
لنأخذ X = 1، 2، 3، 4، 5 وY = 2، 4، 5، 4، 5. عندئذٍ يكون المتوسطان \(\bar{x} = 3\) و\(\bar{y} = 4\). ويبلغ مجموع حواصل ضرب الانحرافات 6، بينما \(\sum (x-\bar{x})^2 = 10\) و\(\sum (y-\bar{y})^2 = 6\). وبذلك يكون $$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746$$ أي \(r^2 \approx 0.6\). وهذا يدل على وجود علاقة خطية طردية قوية نسبيًا.
الأسئلة الشائعة
هل يعني الارتباط وجود علاقة سببية؟ لا. فالقيمة المرتفعة لـ r تُظهر فقط أن المتغيرين يتحركان معًا، لكنها لا تثبت أن أحدهما سبب في الآخر.
متى يُعد الارتباط "قويًا"؟ كقاعدة تقريبية، تُعد القيمة |r| الأكبر من 0.7 ارتباطًا قويًا، ومن 0.3 إلى 0.7 ارتباطًا متوسطًا، وأقل من 0.3 ارتباطًا ضعيفًا — مع مراعاة أن السياق يبقى عاملًا مهمًا.
لماذا تهم قيمة r²؟ توضّح قيمة r² نسبة التباين في Y التي تفسرها العلاقة الخطية مع X؛ فقيمة r² تساوي 0.6 تعني أن 60% من تباين Y يمكن تفسيره بهذه العلاقة.
