相関係数とは？
ピアソンの相関係数（記号は r）は、2つの変数がどれだけ直線的に一緒に動くかを表す指標です。値は必ず −1 から +1 の範囲に収まります。+1 に近いほど強い正の相関（Xが増えるとYも増える）、−1 に近いほど強い負の相関を示し、0 に近い場合は直線的な関係がほとんどない、または全くないことを意味します。
この計算ツールの使い方
X の値と、それに対応する Y の値を入力します。それぞれのリストはカンマまたはスペースで区切ってください。2つのリストは同じ個数にそろえるのが基本ですが、個数が異なる場合は先頭から対応するペアのみが使われます。計算結果として、相関係数 \(r\)、決定係数 \(r^2\)、共分散、各データの平均値、そして最小二乗法による回帰直線の傾きと切片が表示されます。
計算式の仕組み
各ペアについて、x とその平均との差（\(x - \bar{x}\)）、y とその平均との差（\(y - \bar{y}\)）を求めます。分子はこれらの偏差の積をすべて足し合わせたもの、分母は偏差平方和の積の平方根です。この割り算によって結果が −1 から +1 の範囲に標準化されるため、相関の強さは測定単位に左右されません。
$$\begin{gathered} r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \; \sum (y_i - \bar{y})^2}} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \text{X values} \\ y_i &= \text{Y values} \\ \bar{x} &= \tfrac{1}{n}\textstyle\sum x_i \\ \bar{y} &= \tfrac{1}{n}\textstyle\sum y_i \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
計算例
X = 1, 2, 3, 4, 5、Y = 2, 4, 5, 4, 5 の場合を考えてみましょう。平均は \(\bar{x} = 3\)、\(\bar{y} = 4\) です。偏差の積の合計は 6、\(\sum (x - \bar{x})^2 = 10\)、\(\sum (y - \bar{y})^2 = 6\) となります。したがって
$$r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0.7746$$となり、\(r^2 \approx 0.6\) が得られます。これはかなり強い正の相関があることを示しています。
よくある質問
相関があれば因果関係があると言えますか？ いいえ。\(r\) が高くても、それは2つの変数が一緒に動いていることを示すだけで、一方が他方の原因であることを証明するものではありません。
「強い」相関とはどの程度ですか？ おおよその目安として、\(|r|\) が 0.7 を超えれば強い、0.3〜0.7 は中程度、0.3 未満は弱いと判断されます。ただし最終的には分野や文脈によって解釈が変わります。
\(r^2\) はなぜ重要なのですか？ \(r^2\) は、X との直線的な関係によって Y のばらつきのうちどれだけが説明できるかを示します。\(r^2\) が 0.6 であれば、Y の分散の 60% が説明できることを意味します。
