¿Qué es el coeficiente de correlación?
El coeficiente de correlación de Pearson, que se representa con la letra r, mide con qué fuerza dos variables se mueven juntas siguiendo una línea recta. Su valor siempre se sitúa entre −1 y +1. Un valor cercano a +1 indica una relación lineal positiva fuerte (cuando X aumenta, Y también lo hace); un valor próximo a −1 señala una relación negativa fuerte; y un valor cercano a 0 refleja poca o ninguna relación lineal.
Cómo usar esta calculadora
Introduce tus valores de X y los valores de Y que les corresponden, separando cada lista con comas o espacios. Ambas listas deben tener el mismo número de elementos; si no coinciden, solo se utilizan los primeros pares emparejados. La calculadora te devuelve r, el coeficiente de determinación r², la covarianza, las medias de cada conjunto y la pendiente y la ordenada al origen de la recta de regresión que mejor se ajusta a los datos.
La fórmula explicada
Para cada par calculamos la desviación de x respecto a su media (x − x̄) y la de y respecto a la suya (y − ȳ). El numerador suma los productos de estas desviaciones; el denominador es la raíz cuadrada del producto de las sumas de las desviaciones al cuadrado. Esta división estandariza el resultado dentro del rango de −1 a +1, de modo que su magnitud no depende de las unidades de medida empleadas.
$$ r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \; \sum (y_i - \bar{y})^2}} $$$$ \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \text{X values} \\ y_i &= \text{Y values} \\ \bar{x} &= \tfrac{1}{n}\textstyle\sum x_i \\ \bar{y} &= \tfrac{1}{n}\textstyle\sum y_i \end{aligned} \right. $$
Ejemplo resuelto
Tomemos X = 1, 2, 3, 4, 5 e Y = 2, 4, 5, 4, 5. Las medias son \(\bar{x} = 3\) e \(\bar{y} = 4\). La suma de los productos de las desviaciones da 6, \(\sum (x-\bar{x})^2 = 10\) y \(\sum (y-\bar{y})^2 = 6\). Así pues, $$ r = \frac{6}{\sqrt{10 \times 6}} = \frac{6}{\sqrt{60}} \approx 0{,}7746 $$ lo que da \(r^2 \approx 0{,}6\). Esto indica una relación lineal positiva bastante fuerte.
Preguntas frecuentes
¿La correlación implica causalidad? No. Una r elevada solo demuestra que las variables se mueven a la vez; no prueba que una sea la causa de la otra.
¿Qué se considera una correlación «fuerte»? A modo de guía orientativa, un |r| superior a 0,7 es fuerte, entre 0,3 y 0,7 es moderado, y por debajo de 0,3 es débil; aunque el contexto siempre importa.
¿Por qué es importante r²? El valor de r² indica qué fracción de la variación de Y queda explicada por su relación lineal con X; un r² de 0,6 significa que el 60 % de la varianza de Y queda explicada.
