¿Qué es el coeficiente de determinación (R²)?
El coeficiente de determinación, que se escribe \(R^{2}\), mide hasta qué punto las predicciones de un modelo coinciden con los datos realmente observados. Representa la proporción de la varianza de la variable dependiente que el modelo logra explicar. El \(R^{2}\) va desde 1 (un ajuste perfecto, en el que las predicciones coinciden exactamente con los valores reales) hasta 0 (el modelo no es mejor que predecir simplemente la media) e incluso puede ser negativo cuando el modelo rinde peor que esa media de referencia.
Cómo usar esta calculadora
Introduce la lista de valores reales observados (y) y la lista correspondiente de valores predichos (ŷ), cada una como números separados por comas y en el mismo orden. La calculadora empareja los valores, calcula la media de los valores reales y, a partir de ahí, obtiene la suma de cuadrados de los residuos (SSres) y la suma total de cuadrados (SStot) para devolverte el \(R^{2}\) y el porcentaje de varianza explicada.
La fórmula, paso a paso
$$R^{2} = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$$ Aquí, \(SS_{res} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2\) recoge el error que queda tras las predicciones del modelo, mientras que \(SS_{tot} = \sum (y_i - \bar{y})^2\) recoge la variabilidad total de los datos respecto a su propia media. Al dividir una entre otra obtienes qué fracción de la variabilidad no logró explicar el modelo; al restar ese cociente de 1, obtienes la fracción que sí explicó.
Ejemplo resuelto
Reales = [3, −0,5, 2, 7], Predichos = [2,5, 0,0, 2, 8]. Media de los reales = 2,875. $$SS_{res} = 0{,}5^2 + 0{,}5^2 + 0^2 + 1^2 = 0{,}25 + 0{,}25 + 0 + 1 = 1{,}5$$ $$SS_{tot} = (0{,}125)^2 + (3{,}375)^2 + (0{,}875)^2 + (4{,}125)^2 \approx 0{,}0156 + 11{,}3906 + 0{,}7656 + 17{,}0156 = 29{,}1875$$ $$R^{2} = 1 - \frac{1{,}5}{29{,}1875} \approx 0{,}9486$$ así que el modelo explica alrededor del 94,9 % de la varianza.
Preguntas frecuentes
¿Puede el \(R^{2}\) ser negativo? Sí. Si tus predicciones son peores que limitarse a adivinar la media en cada caso, el \(SS_{res}\) supera al \(SS_{tot}\) y el \(R^{2}\) se vuelve negativo.
¿Un \(R^{2}\) alto significa que el modelo es bueno? No siempre. El \(R^{2}\) puede inflarse por sobreajuste (overfitting) o al añadir predictores irrelevantes. Conviene revisarlo siempre junto con los gráficos de residuos y el rendimiento con datos fuera de la muestra.
¿Cuál es la diferencia entre el \(R^{2}\) y la correlación? En la regresión lineal simple, el \(R^{2}\) es igual al cuadrado del coeficiente de correlación de Pearson (\(r\)) entre los valores reales y los predichos.
