Qu'est-ce que le coefficient de détermination (R²) ?
Le coefficient de détermination, noté R², mesure à quel point les prédictions d'un modèle collent aux données réellement observées. Il représente la part de la variance de la variable expliquée que le modèle parvient à restituer. Le R² varie de 1 — un ajustement parfait, où les prédictions correspondent exactement aux valeurs réelles — jusqu'à 0, lorsque le modèle ne fait pas mieux que de prédire simplement la moyenne. Il peut même devenir négatif quand le modèle se révèle moins performant que cette référence de base.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez votre liste de valeurs réelles observées (y) ainsi que la liste correspondante de valeurs prédites (ŷ), chacune sous forme de nombres séparés par des virgules et dans le même ordre. Le calculateur associe les couples, calcule la moyenne des valeurs réelles, puis en déduit la somme des carrés des résidus (SSres) et la somme totale des carrés (SStot) pour vous renvoyer le R² et le pourcentage de variance expliquée.
La formule expliquée
$$R^{2} = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$$ Ici, \(SS_{res} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2\) correspond à l'erreur résiduelle qui subsiste après les prédictions du modèle, tandis que \(SS_{tot} = \sum (y_i - \bar{y})^2\) traduit la variabilité totale des données autour de leur propre moyenne. Le rapport entre les deux indique la fraction de variabilité que le modèle n'a pas su expliquer ; en la soustrayant de 1, on obtient la fraction qu'il a effectivement expliquée.
Exemple concret
Réelles = [3, −0,5, 2, 7], Prédites = [2,5, 0,0, 2, 8]. Moyenne des valeurs réelles = 2,875. $$SS_{res} = 0{,}5^2 + 0{,}5^2 + 0^2 + 1^2 = 0{,}25 + 0{,}25 + 0 + 1 = 1{,}5$$ $$SS_{tot} = (0{,}125)^2 + (3{,}375)^2 + (0{,}875)^2 + (4{,}125)^2 \approx 0{,}0156 + 11{,}3906 + 0{,}7656 + 17{,}0156 = 29{,}1875$$ $$R^{2} = 1 - \frac{1{,}5}{29{,}1875} \approx 0{,}9486$$ : le modèle explique donc environ 94,9 % de la variance.
FAQ
Le R² peut-il être négatif ? Oui. Si vos prédictions font moins bien que la simple prédiction de la moyenne à chaque fois, SSres dépasse SStot et le R² devient négatif.
Un R² élevé signifie-t-il un bon modèle ? Pas toujours. Le R² peut être artificiellement gonflé par un surajustement (overfitting) ou par l'ajout de variables prédictives inutiles. Vérifiez-le toujours en parallèle des graphiques de résidus et des performances sur des données hors échantillon.
Quelle est la différence entre le R² et la corrélation ? Dans le cas d'une régression linéaire simple, le R² est égal au carré du coefficient de corrélation de Pearson (r) entre les valeurs réelles et les valeurs prédites.
