निर्धारण गुणांक (R²) क्या है?
निर्धारण गुणांक, जिसे R² लिखा जाता है, यह मापता है कि किसी मॉडल के पूर्वानुमान असल में देखे गए डेटा से कितनी अच्छी तरह मेल खाते हैं। आसान शब्दों में, यह आश्रित चर (dependent variable) के उस विचरण (variance) का अनुपात बताता है जिसे मॉडल समझा पाता है। R² का मान 1 (एकदम सटीक फ़िट, जहाँ पूर्वानुमान बिल्कुल वास्तविक मानों के बराबर हों) से लेकर 0 (जहाँ मॉडल केवल औसत का अनुमान लगाने से बेहतर नहीं) तक होता है। जब कोई मॉडल औसत (mean) के आधार बिंदु से भी ख़राब प्रदर्शन करता है, तो यह ऋणात्मक (negative) तक हो सकता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने वास्तविक देखे गए मानों (y) की सूची और उनसे मेल खाते पूर्वानुमानित मानों (ŷ) की सूची दर्ज करें — दोनों को एक ही क्रम में, कॉमा से अलग की गई संख्याओं के रूप में लिखें। कैलकुलेटर इन्हें आपस में जोड़ता है, वास्तविक मानों का औसत निकालता है, फिर अवशिष्ट वर्ग योग (SSres) और कुल वर्ग योग (SStot) की गणना करके R² और समझाए गए विचरण का प्रतिशत लौटाता है।
सूत्र को समझें
$$R^{2} = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}}$$ यहाँ \(SS_{res} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2\) मॉडल के पूर्वानुमानों के बाद बची हुई त्रुटि को दर्शाता है, जबकि \(SS_{tot} = \sum (y_i - \bar{y})^2\) डेटा की अपने ही औसत के इर्द-गिर्द कुल परिवर्तनशीलता को दर्शाता है। एक को दूसरे से भाग देने पर पता चलता है कि मॉडल परिवर्तनशीलता का कितना हिस्सा समझा नहीं पाया; इसे 1 से घटाने पर वह हिस्सा मिलता है जो मॉडल ने समझाया।
हल किया हुआ उदाहरण
वास्तविक = [3, −0.5, 2, 7], पूर्वानुमानित = [2.5, 0.0, 2, 8]। वास्तविक का औसत = 2.875। $$SS_{res} = 0.5^2 + 0.5^2 + 0^2 + 1^2 = 0.25 + 0.25 + 0 + 1 = 1.5$$ $$SS_{tot} = (0.125)^2 + (3.375)^2 + (0.875)^2 + (4.125)^2 \approx 0.0156 + 11.3906 + 0.7656 + 17.0156 = 29.1875$$ $$R^{2} = 1 - \frac{1.5}{29.1875} \approx 0.9486$$ यानी मॉडल लगभग 94.9% विचरण को समझाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)
क्या R² ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। अगर आपके पूर्वानुमान हर बार सिर्फ़ औसत का अनुमान लगाने से भी ख़राब हों, तो SSres, SStot से बड़ा हो जाता है और R² ऋणात्मक हो जाता है।
क्या ऊँचा R² अच्छे मॉडल का संकेत है? हमेशा नहीं — ओवरफिटिंग या ग़ैर-ज़रूरी पूर्वानुमानकर्ता (predictors) जोड़ने से R² बढ़ा-चढ़ा दिख सकता है। इसे हमेशा अवशिष्ट प्लॉट (residual plots) और सैंपल से बाहर के प्रदर्शन के साथ मिलाकर जाँचें।
R² और सहसंबंध (correlation) में क्या अंतर है? सरल रैखिक प्रतिगमन (simple linear regression) में, R² वास्तविक और पूर्वानुमानित मानों के बीच पियर्सन सहसंबंध गुणांक (r) के वर्ग के बराबर होता है।
