द्विपद गुणांक क्या होता है?
द्विपद गुणांक, जिसे C(n, k) या "n में से k चुनें" लिखा जाता है, यह बताता है कि n अलग-अलग वस्तुओं के समूह में से k वस्तुएँ कितने तरीकों से चुनी जा सकती हैं — जब चुनने का क्रम मायने नहीं रखता। यह संयोजिकी (combinatorics) और प्रायिकता (probability) की सबसे बुनियादी मात्राओं में से एक है, जो पास्कल त्रिभुज, द्विपद प्रमेय और गिनती की अनगिनत समस्याओं में नज़र आती है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
वस्तुओं की कुल संख्या n और जितनी वस्तुएँ आप चुनना चाहते हैं वह संख्या k दर्ज करें। कैलकुलेटर संयोजनों की सटीक संख्या लौटा देगा। अगर k का मान n से बड़ा है, तो परिणाम 0 आएगा, क्योंकि मौजूद वस्तुओं से ज़्यादा वस्तुएँ चुनना संभव नहीं है।
सूत्र की समझ
इसकी पारंपरिक परिभाषा इस प्रकार है:
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,\left(n - k\right)!}$$
चूँकि क्रमगुणित (factorial) बहुत तेज़ी से बढ़ते हैं, इसलिए यह टूल इसके समतुल्य गुणात्मक रूप का उपयोग करता है — यह (n−k+i)/i को i = 1…min(k, n−k) के लिए गुणा करता है। इससे बीच के मान छोटे बने रहते हैं, ओवरफ़्लो की समस्या नहीं आती और उत्तर वही पूर्णांक प्राप्त होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
5 ताशों के ढेर में से 2-ताश के कितने हाथ बन सकते हैं? $$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10$$ निकालें। यानी कुल 10 संभावित जोड़े बनते हैं।
पास्कल का त्रिभुज संदर्भ (छोटे n के लिए C(n,k))
तालिका में प्रत्येक प्रविष्टि द्विपद गुणांक \(\binom{n}{k}\) है, व्यवस्थित ताकि प्रत्येक पंक्ति \(n\) के लिए \(k = 0, 1, \dots, n\) के मान दिए गए हों। यह पास्कल का त्रिभुज बनाता है, जहाँ प्रत्येक आंतरिक प्रविष्टि इसके ऊपर विकर्ण में दो प्रविष्टियों के योग के बराबर है: \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\)। प्रत्येक पंक्ति में समरूपता पर ध्यान दें, क्योंकि \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)।
| n \ k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
उदाहरण के लिए, \(\binom{10}{3} = \) 120, पंक्ति 10, स्तंभ \(k=3\) पर पाया जाता है। पंक्ति \(n\) में प्रत्येक प्रविष्टि का योग \(2^n\) के बराबर है (जैसे पंक्ति 4: \(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\))।
अधिक हल किए गए उदाहरण
निम्नलिखित उदाहरण सूत्र \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) को लागू करते हैं, गुणनात्मक शॉर्टकट का उपयोग करते हुए \(\binom{n}{k} = \dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\) ताकि विशाल फैक्टोरियल किसी भी बड़ी गुणा से पहले रद्द हो जाएँ।
उदाहरण 1: \(\binom{10}{3}\) — 10 से 3 चुनना
\(3!\) पर \(10!\) की केवल शीर्ष 3 गिरती हुई फैक्टोरियल रखें:
$$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120$$तो 10 में से 3 वस्तुएं चुनने के 120 तरीके हैं जब क्रम महत्वपूर्ण नहीं है।
उदाहरण 2: \(\binom{6}{6}\) — सभी को चुनना
उपलब्ध प्रत्येक वस्तु को चुनना बिल्कुल एक तरीके से किया जा सकता है। \(k = n\) के साथ, \((n-k)!\) पद \(0! = 1\) हो जाता है:
$$\binom{6}{6} = \frac{6!}{6!\,(6-6)!} = \frac{720}{720 \cdot 1} = 1$$यह पहचान की पुष्टि करता है \(\binom{n}{n} = \binom{n}{0} = \) 1।
उदाहरण 3: \(\binom{49}{6}\) — एक 6-में-49 लॉटरी
49 की पूल से 6 संख्याओं के विशिष्ट अक्रमिक टिकटों की संख्या छः सबसे बड़ी गिरती हुई फैक्टोरियल के साथ गुणनात्मक शॉर्टकट का उपयोग करती है:
$$\binom{49}{6} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6!}$$अंश \(49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 = 10{,}068{,}347{,}520\) है, और हर \(6! = 720\) है:
$$\binom{49}{6} = \frac{10{,}068{,}347{,}520}{720} = 13{,}983{,}816$$तो एक एकल टिकट के सभी छः संख्याओं से मेल खाने का 1-में-13,983,816 संभावना है। यदि आप इसके बजाय अक्रमिक रूप से खींचना चाहते हैं, तो आप क्रमचय \(P(49,6) = \binom{49}{6}\cdot 6!\) का उपयोग करेंगे — लेकिन एक विशिष्ट लॉटरी के लिए केवल संयोजन महत्वपूर्ण है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
\(C(n, 0)\) का मान क्या होता है? हमेशा 1 — कुछ भी न चुनने का ठीक एक ही तरीका होता है।
क्या \(C(n, k)\) और \(C(n, n-k)\) बराबर होते हैं? हाँ, द्विपद गुणांक सममित होता है: k वस्तुएँ रखने के लिए चुनना और n−k वस्तुएँ छोड़ने के लिए चुनना एक ही बात है।
संयोजन (combinations) और क्रमचय (permutations) में क्या फर्क है? संयोजन में क्रम मायने नहीं रखता, जबकि क्रमचय में क्रम गिना जाता है। क्रमचयों की संख्या \(C(n, k) \times k!\) होती है।
