द्विपद प्रमेय विस्तार कैलकुलेटर

पदों की संख्या	4
पद संरचना	C(3,0)·a^3 + C(3,1)·a^2·b + C(3,2)·a·b^2 + C(3,3)·b^3

द्विपद विस्तार कैलकुलेटर क्या है?

यह कैलकुलेटर द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) का उपयोग करके $(a + b)^{n}$ रूप के किसी भी व्यंजक का विस्तार करता है और उसका मान निकालता है, जहाँ n एक ऋणेतर पूर्णांक (non-negative integer) होता है। यह आपको पूरे व्यंजक का संख्यात्मक मान, विस्तार में पदों की संख्या, और हर पद की प्रतीकात्मक संरचना दिखाता है। यह एक सार्वभौमिक गणित टूल है जिस पर किसी क्षेत्र या देश की कोई सीमा लागू नहीं होती।

इसका उपयोग कैसे करें

पहला पद a, दूसरा पद b, और घातांक n (0 से 20 तक) दर्ज करें। a और b दोनों धनात्मक, ऋणात्मक या भिन्न (fraction) हो सकते हैं। परिणाम देखने के लिए "गणना करें" दबाएँ। चूँकि मान द्विपद गुणांकों (binomial coefficients) की मदद से पद-दर-पद निकाला जाता है, आप दिखाई गई पद-संरचना से अपने आंशिक उत्तरों को हाथ से भी जाँच सकते हैं।

सूत्र की व्याख्या

द्विपद प्रमेय के अनुसार $(a + b)^{n}$ का मान k = 0 से n तक $\binom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^{k}$ के योग के बराबर होता है।

$$\left(a + b\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$

गुणांक $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ यह बताता है कि n वस्तुओं में से k वस्तुएँ कितने तरीकों से चुनी जा सकती हैं, और यही गुणांक पास्कल त्रिभुज (Pascal's triangle) की पंक्तियाँ बनाते हैं। विस्तार में हमेशा $n + 1$ पद होते हैं — a की घातें n से घटकर 0 तक आती हैं, जबकि b की घातें 0 से बढ़कर n तक जाती हैं।

संख्याओं की पंक्तियों से बना पास्कल त्रिभुज जो एक त्रिभुज का आकार बनाता है — पास्कल त्रिभुज: प्रत्येक पंक्ति उस घातांक n के लिए द्विपद गुणांक देती है।

द्विपद विस्तार के एक पद का व्याख्यायित आरेख जिसमें द्विपद गुणांक, a की घात और b की घात दिखाई गई हैं — एक सामान्य पद की संरचना: द्विपद गुणांक गुणा $a^{n-k}$ गुणा $b^{k}$।

हल किया गया उदाहरण

$(1 + 2)^{3}$ के लिए पद इस प्रकार हैं: $\binom{3}{0}\cdot 1^{3}\cdot 2^{0} = 1$, $\binom{3}{1}\cdot 1^{2}\cdot 2^{1} = 6$, $\binom{3}{2}\cdot 1^{1}\cdot 2^{2} = 12$, और $\binom{3}{3}\cdot 1^{0}\cdot 2^{3} = 8$। इन्हें जोड़ने पर

$$1 + 6 + 12 + 8 = 27$$

मिलता है, जो कि $3^{3} = 27$ के बराबर है — इससे विस्तार की पुष्टि हो जाती है।

पास्कल का त्रिकोण: घातांक द्वारा द्विपद गुणांक

पास्कल के त्रिकोण की प्रत्येक पंक्ति $n$ द्विपद गुणांक $\binom{n}{k}$ को $k = 0, 1, 2, \dots, n$ के लिए सूचीबद्ध करती है। ये वास्तव में संख्यात्मक गुणांक हैं जो $(a+b)^n$ के विस्तार में प्रकट होते हैं। एक पंक्ति के पार प्रत्येक पद का गुणांक प्राप्त करने के लिए पढ़ें, बाईं ओर $a^n b^0$ से शुरू करके और दाईं ओर $a^0 b^n$ पर समाप्त होते हुए।

$n$	द्विपद गुणांक $\binom{n}{0},\,\binom{n}{1},\,\dots,\,\binom{n}{n}$	पंक्ति योग $2^n$
0	1	1
1	1, 1	2
2	1, 2, 1	4
3	1, 3, 3, 1	8
4	1, 4, 6, 4, 1	16
5	1, 5, 10, 10, 5, 1	32
6	1, 6, 15, 20, 15, 6, 1	64
7	1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1	128
8	1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1	256
9	1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1	512
10	1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1	1024

प्रत्येक प्रविष्टि सीधे ऊपर की दो प्रविष्टियों का योग के बराबर है (उदाहरण के लिए, पंक्ति 6 का बीच में $10 + 10 = 20$)। पंक्ति 6 के मध्य गुणांक को सीधे $\binom{6}{3} = $ 20 के रूप में भी गणना की जा सकती है, और पंक्ति कुल $\sum_{k} \binom{n}{k} = 2^n$ की पुष्टि करता है कि $(a+b)^n$ के विस्तार में $n+1$ पद हैं।

अधिक हल किए गए उदाहरण

प्रत्येक विस्तार $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}$ का उपयोग करता है और इसके गुणांकों को सीधे पास्कल के त्रिकोण की संबंधित पंक्ति से खींचता है।

उदाहरण 1: $(x-2)^4$ — वैकल्पिक चिह्न

यहाँ $a = x$, $b = -2$, $n = 4$। पास्कल के त्रिकोण की पंक्ति 4 $1, 4, 6, 4, 1$ है। क्योंकि $b$ नकारात्मक है, $-2$ की घातें चिह्नों को वैकल्पिक बनाती हैं:

$\binom{4}{0}x^4(-2)^0 = 1\cdot x^4 \cdot 1 = x^4$
$\binom{4}{1}x^3(-2)^1 = 4\cdot x^3 \cdot(-2) = -8x^3$
$\binom{4}{2}x^2(-2)^2 = 6\cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2$
$\binom{4}{3}x^1(-2)^3 = 4\cdot x \cdot(-8) = -32x$
$\binom{4}{4}x^0(-2)^4 = 1\cdot 1 \cdot 16 = 16$

संयोजन: $(x-2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16$।

उदाहरण 2: $(2+3)^5$ — पूरी तरह संख्यात्मक

यहाँ $a = 2$, $b = 3$, $n = 5$, और पंक्ति 5 $1, 5, 10, 10, 5, 1$ है:

$\binom{5}{0}2^5 3^0 = 1\cdot 32\cdot 1 = 32$
$\binom{5}{1}2^4 3^1 = 5\cdot 16\cdot 3 = 240$
$\binom{5}{2}2^3 3^2 = 10\cdot 8\cdot 9 = 720$
$\binom{5}{3}2^2 3^3 = 10\cdot 4\cdot 27 = 1080$
$\binom{5}{4}2^1 3^4 = 5\cdot 2\cdot 81 = 810$
$\binom{5}{5}2^0 3^5 = 1\cdot 1\cdot 243 = 243$

पदों को जोड़ना: $32 + 240 + 720 + 1080 + 810 + 243 = $ 3125। जांच के रूप में, $(2+3)^5 = 5^5 = 3125$।

उदाहरण 3: $\left(1+\tfrac{1}{2}\right)^3$ — आंशिक आधार

यहाँ $a = 1$, $b = \tfrac{1}{2}$, $n = 3$, पंक्ति 3 $1, 3, 3, 1$ के बराबर है:

$\binom{3}{0}1^3\left(\tfrac{1}{2}\right)^0 = 1\cdot 1\cdot 1 = 1$
$\binom{3}{1}1^2\left(\tfrac{1}{2}\right)^1 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}$
$\binom{3}{2}1^1\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}$
$\binom{3}{3}1^0\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = 1\cdot 1\cdot\tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{8}$

पदों को जोड़ना: $1 + \tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{8+12+6+1}{8} = \tfrac{27}{8} = $ 3.375। यह $\left(\tfrac{3}{2}\right)^3 = \tfrac{27}{8}$ से मेल खाता है।

मुख्य पद और परिभाषाएँ

द्विपद गुणांक $\binom{n}{k}$: विस्तार के प्रत्येक पद को गुणा करने वाली संख्या, पढ़ी जाती है "n चुनिए k"। यह गिनता है कि $n$ में से $k$ आइटमों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है और इसकी गणना $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ के रूप में की जाती है। उदाहरण के लिए, $\binom{5}{2} = $ 10।
घातांक $n$: पूर्ण संख्या की शक्ति जिस तक द्विपद $(a+b)$ को उठाया जाता है। यह उच्चतम शक्ति को निर्धारित करता है और यह निर्धारित करता है कि विस्तार में बिल्कुल $n+1$ पद हैं।
पद: विस्तृत परिणाम का एक योगात्मक टुकड़ा, $\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}$ के रूप में। एक एकल पद में $a$ और $b$ पर घातें हमेशा $n$ तक जोड़ी जाती हैं।
आधार पद $a$ और $b$: कोष्ठक के अंदर दो मात्राएँ जोड़ी जा रही हैं। वे संख्याएँ, चर, भिन्न, या नकारात्मक मान हो सकते हैं; उदाहरण के लिए $(x-2)^4$ में, $a = x$ और $b = -2$।
भाज्य $n!$: $n$ तक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल: $n! = n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1$, परिभाषा के अनुसार $0! = 1$। उदाहरण के लिए, $5! = $ 120। भाज्य प्रत्येक द्विपद गुणांक के सूत्र का आधार हैं।
पास्कल का त्रिकोण: एक त्रिकोणीय सरणी जिसमें पंक्ति $n$ गुणांकों $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}$ को सूचीबद्ध करती है। प्रत्येक आंतरिक प्रविष्टि ऊपर की दो प्रविष्टियों का योग है, जो भाज्य की गणना किए बिना द्विपद गुणांकों को पढ़ने का एक त्वरित तरीका देता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या n भिन्न या ऋणात्मक हो सकता है? यह कैलकुलेटर केवल ऋणेतर पूर्णांक घातांकों को संभालता है, जो $n + 1$ पदों वाला एक सीमित (finite) विस्तार देते हैं।

क्या a और b ऋणात्मक हो सकते हैं? हाँ। उदाहरण के लिए $(a - b)^{n}$ को धनात्मक a और ऋणात्मक b के रूप में दर्ज किया जाता है, जिससे पदों के चिह्न बारी-बारी से बदलते रहते हैं।

घातांक की अधिकतम सीमा क्या है? परिणामों को संख्यात्मक रूप से स्थिर और पढ़ने में आसान बनाए रखने के लिए n को अधिकतम 20 तक सीमित रखा गया है।