¿Qué es la Calculadora de Expansión Binomial?
Esta calculadora aplica el teorema del binomio para desarrollar y evaluar cualquier expresión de la forma \((a + b)^{n}\), donde n es un número entero no negativo. Te devuelve el valor numérico de toda la expresión, la cantidad de términos del desarrollo y la estructura simbólica de cada término. Es una herramienta matemática universal, sin restricciones regionales de ningún tipo.
Cómo usarla
Introduce el primer término a, el segundo término b y el exponente n (de 0 a 20). Tanto a como b pueden ser positivos, negativos o fraccionarios. Pulsa calcular para ver el resultado. Como el valor se obtiene término a término mediante coeficientes binomiales, puedes comprobar los resultados parciales a mano comparándolos con la estructura de términos que se muestra en pantalla.
La fórmula explicada
El teorema del binomio establece que \((a + b)^{n}\) es igual a la suma, desde k = 0 hasta n, de \(C(n,k)\cdot a^{n-k}\cdot b^{k}\):
$$\left(a + b\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$El coeficiente \(C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) indica de cuántas maneras se pueden elegir k objetos entre n, y estos coeficientes forman las filas del triángulo de Pascal. Siempre hay n + 1 términos: las potencias de a disminuyen de n a 0, mientras que las de b aumentan de 0 a n.
Ejemplo resuelto
Para \((1 + 2)^{3}\), los términos son \(C(3,0)\cdot 1^{3}\cdot 2^{0} = 1\), \(C(3,1)\cdot 1^{2}\cdot 2^{1} = 6\), \(C(3,2)\cdot 1^{1}\cdot 2^{2} = 12\) y \(C(3,3)\cdot 1^{0}\cdot 2^{3} = 8\). Al sumarlos obtenemos:
$$1 + 6 + 12 + 8 = 27$$que coincide con \(3^{3} = 27\), lo que confirma el desarrollo.
Triángulo de Pascal: Coeficientes Binomiales por Exponente
Cada fila \(n\) del triángulo de Pascal enumera los coeficientes binomiales \(\binom{n}{k}\) para \(k = 0, 1, 2, \dots, n\). Estos son exactamente los coeficientes numéricos que aparecen en la expansión de \((a+b)^n\). Lea a lo largo de una fila para obtener el coeficiente de cada término, comenzando desde \(a^n b^0\) a la izquierda y terminando en \(a^0 b^n\) a la derecha.
| \(n\) | Coeficientes binomiales \(\binom{n}{0},\,\binom{n}{1},\,\dots,\,\binom{n}{n}\) | Suma de la fila \(2^n\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1, 1 | 2 |
| 2 | 1, 2, 1 | 4 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | 8 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | 16 |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 | 32 |
| 6 | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 | 64 |
| 7 | 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 | 128 |
| 8 | 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 | 256 |
| 9 | 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 | 512 |
| 10 | 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 | 1024 |
Cada entrada es igual a la suma de las dos entradas directamente arriba de ella (por ejemplo, el centro de la fila 6 es \(10 + 10 = 20\)). El coeficiente del medio de la fila 6 también se puede calcular directamente como \(\binom{6}{3} = \) 20, y el total de la fila \(\sum_{k} \binom{n}{k} = 2^n\) confirma que una expansión de \((a+b)^n\) tiene \(n+1\) términos.
Más Ejemplos Resueltos
Cada expansión utiliza \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}\) y obtiene sus coeficientes directamente de la fila correspondiente del triángulo de Pascal.
Ejemplo 1: \((x-2)^4\) — signos alternados
Aquí \(a = x\), \(b = -2\), \(n = 4\). La fila 4 del triángulo de Pascal es \(1, 4, 6, 4, 1\). Debido a que \(b\) es negativo, las potencias de \(-2\) hacen que los signos se alterne:
- \(\binom{4}{0}x^4(-2)^0 = 1\cdot x^4 \cdot 1 = x^4\)
- \(\binom{4}{1}x^3(-2)^1 = 4\cdot x^3 \cdot(-2) = -8x^3\)
- \(\binom{4}{2}x^2(-2)^2 = 6\cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2\)
- \(\binom{4}{3}x^1(-2)^3 = 4\cdot x \cdot(-8) = -32x\)
- \(\binom{4}{4}x^0(-2)^4 = 1\cdot 1 \cdot 16 = 16\)
Combinando: \((x-2)^4 = x^4 - 8x^3 + 24x^2 - 32x + 16\).
Ejemplo 2: \((2+3)^5\) — completamente numérico
Aquí \(a = 2\), \(b = 3\), \(n = 5\), y la fila 5 es \(1, 5, 10, 10, 5, 1\):
- \(\binom{5}{0}2^5 3^0 = 1\cdot 32\cdot 1 = 32\)
- \(\binom{5}{1}2^4 3^1 = 5\cdot 16\cdot 3 = 240\)
- \(\binom{5}{2}2^3 3^2 = 10\cdot 8\cdot 9 = 720\)
- \(\binom{5}{3}2^2 3^3 = 10\cdot 4\cdot 27 = 1080\)
- \(\binom{5}{4}2^1 3^4 = 5\cdot 2\cdot 81 = 810\)
- \(\binom{5}{5}2^0 3^5 = 1\cdot 1\cdot 243 = 243\)
Sumando los términos: \(32 + 240 + 720 + 1080 + 810 + 243 = \) 3125. Como comprobación, \((2+3)^5 = 5^5 = 3125\).
Ejemplo 3: \(\left(1+\tfrac{1}{2}\right)^3\) — base fraccionaria
Aquí \(a = 1\), \(b = \tfrac{1}{2}\), \(n = 3\), con la fila 3 igual a \(1, 3, 3, 1\):
- \(\binom{3}{0}1^3\left(\tfrac{1}{2}\right)^0 = 1\cdot 1\cdot 1 = 1\)
- \(\binom{3}{1}1^2\left(\tfrac{1}{2}\right)^1 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}\)
- \(\binom{3}{2}1^1\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = 3\cdot 1\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}\)
- \(\binom{3}{3}1^0\left(\tfrac{1}{2}\right)^3 = 1\cdot 1\cdot\tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{8}\)
Sumando los términos: \(1 + \tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{8+12+6+1}{8} = \tfrac{27}{8} = \) 3.375. Esto coincide con \(\left(\tfrac{3}{2}\right)^3 = \tfrac{27}{8}\).
Términos Clave y Definiciones
- Coeficiente binomial \(\binom{n}{k}\)
- El número que multiplica cada término de la expansión, leído "n sobre k". Cuenta cuántas formas hay de elegir \(k\) elementos de \(n\) y se calcula como \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). Por ejemplo, \(\binom{5}{2} = \) 10.
- Exponente \(n\)
- La potencia entera a la que se eleva el binomio \((a+b)\). Establece la potencia más alta y determina que la expansión tiene exactamente \(n+1\) términos.
- Término
- Una pieza aditiva del resultado expandido, de la forma \(\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}\). Los exponentes en \(a\) y \(b\) en un solo término siempre suman \(n\).
- Términos base \(a\) y \(b\)
- Las dos cantidades que se suman dentro de los paréntesis. Pueden ser números, variables, fracciones o valores negativos; en \((x-2)^4\), por ejemplo, \(a = x\) y \(b = -2\).
- Factorial \(n!\)
- El producto de todos los enteros positivos hasta \(n\): \(n! = n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1\), con \(0! = 1\) por definición. Por ejemplo, \(5! = \) 120. Los factoriales son la base de la fórmula para cada coeficiente binomial.
- Triángulo de Pascal
- Un arreglo triangular en el que la fila \(n\) enumera los coeficientes \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}\). Cada entrada interior es la suma de las dos entradas arriba de ella, lo que proporciona una forma rápida de leer los coeficientes binomiales sin calcular factoriales.
Preguntas frecuentes
¿Puede n ser una fracción o un número negativo? Esta calculadora solo admite exponentes enteros no negativos, que generan un desarrollo finito de n + 1 términos.
¿Pueden a y b ser negativos? Sí. Por ejemplo, \((a - b)^{n}\) se introduce con un valor de a positivo y un valor de b negativo, lo que produce signos alternados.
¿Cuál es el exponente máximo? n está limitado a 20 para mantener los resultados numéricamente estables y fáciles de leer.
