¿Qué es la calculadora del desarrollo binomial?
Esta herramienta desarrolla la expresión \((a + b)^{n}\) aplicando el teorema del binomio. Te devuelve el valor numérico de la expresión, el número de términos que se generan y una lista completa de todos los coeficientes binomiales \(C(n,k)\) junto con cada término por separado. Funciona con cualquier exponente entero no negativo hasta 20 y con coeficientes reales a y b cualesquiera.
Cómo usarla
Introduce el coeficiente del primer término a, el coeficiente del segundo término b y el exponente n. Pulsa calcular. El recuadro principal muestra el valor total de \((a + b)^{n}\), mientras que la tabla confirma el número de términos y la suma de todos los términos desarrollados (que debe coincidir con ese valor). El recuadro del desarrollo enumera cada coeficiente y cada término para que puedas comprobar tu álgebra.
La fórmula explicada
El teorema del binomio establece que \((a + b)^{n}\) es igual a la suma, desde k = 0 hasta n, de \(C(n,k) \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}\). Los coeficientes \(C(n,k)\) forman una fila del triángulo de Pascal.
$$\left(\text{a} + \text{b}\right)^{\text{n}} = \sum_{k=0}^{\text{n}} \binom{\text{n}}{k}\, \text{a}^{\,\text{n}-k}\, \text{b}^{\,k}$$Los calculamos de forma eficiente mediante la recurrencia \(C(n,k) = C(n,k-1) \cdot (n - k + 1) / k\), evitando así trabajar con factoriales muy grandes.
Ejemplo resuelto
Para \((1 + 1)^{4}\): los coeficientes son 1, 4, 6, 4, 1. Como a = b = 1, cada término coincide con su coeficiente, de modo que el desarrollo es
$$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16$$que coincide con \(2^{4} = 16\). La calculadora genera 5 términos y un valor de 16.
Referencia del Triángulo de Pascal (Filas n = 0 a 10)
Cada fila \(n\) del triángulo de Pascal enumera los coeficientes binomiales \(\binom{n}{k}\) para \(k = 0, 1, \dots, n\). Estos son exactamente los coeficientes que aparecen cuando se expande \((a+b)^n\). Cada entrada en el interior es igual a la suma de las dos entradas directamente encima de ella, y las entradas en cada fila suman \(2^n\).
| \(n\) | Coeficientes \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}\) | Suma de la fila \(2^n\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1, 1 | 2 |
| 2 | 1, 2, 1 | 4 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | 8 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | 16 |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 | 32 |
| 6 | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 | 64 |
| 7 | 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 | 128 |
| 8 | 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 | 256 |
| 9 | 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 | 512 |
| 10 | 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 | 1024 |
Por ejemplo, el coeficiente central en la fila 10 es 252, encontrado en \(k=5\). Cada fila es simétrica porque \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).
Más Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: \((x+2)^3\)
Aquí \(a=x\), \(b=2\), y \(n=3\). Los coeficientes de la fila 3 son \(1, 3, 3, 1\). Sustituya en \(\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}x^{3-k}2^{k}\):
$$\binom{3}{0}x^3(2)^0 + \binom{3}{1}x^2(2)^1 + \binom{3}{2}x^1(2)^2 + \binom{3}{3}x^0(2)^3$$$$= 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2\cdot 2 + 3\cdot x\cdot 4 + 1\cdot 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$Las potencias de \(x\) descienden \(3 \to 0\) mientras que las potencias de \(2\) ascienden \(0 \to 3\).
Ejemplo 2: \((2a-b)^4\) — signos alternados
Escriba la resta como \(b \to -b\), por lo que los términos base son \(2a\) y \(-b\), con \(n=4\) y coeficientes \(1, 4, 6, 4, 1\):
$$\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}(2a)^{4-k}(-b)^{k}$$$$= 1(2a)^4 + 4(2a)^3(-b) + 6(2a)^2(-b)^2 + 4(2a)(-b)^3 + 1(-b)^4$$$$= 16a^4 - 32a^3 b + 24a^2 b^2 - 8a b^3 + b^4$$Porque \((-b)^k\) es negativo para \(k\) impar y positivo para \(k\) par, los signos alternan \(+,-,+,-,+\).
Ejemplo 3: \((x+1)^6\) — potencias ascendentes y descendentes explícitas
Con \(a=x\), \(b=1\), \(n=6\), los coeficientes de la fila 6 son \(1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\). Dado que cada potencia de \(1\) es \(1\), los coeficientes aparecen directamente:
$$(x+1)^6 = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$$El coeficiente central \(20\) es igual a 20, es decir \(\binom{6}{3}\). El exponente en \(x\) desciende de \(6\) a \(0\) a lo largo de los siete términos.
Términos Clave y Variables
- \(a\) — primer término base
- La primera cantidad dentro del binomio \((a+b)^n\). En cada término expandido se eleva a la potencia descendente \(a^{n-k}\).
- \(b\) — segundo término base
- La segunda cantidad dentro del binomio. Se eleva a la potencia ascendente \(b^{k}\). Para una resta \((a-b)^n\), trate \(b\) como negativo para que los signos alternados.
- \(n\) — exponente (grado)
- La potencia a la que se eleva el binomio. Para un entero no negativo \(n\), la expansión tiene exactamente \(n+1\) términos, y \(n\) selecciona la fila \(n\) del triángulo de Pascal.
- \(k\) — índice de suma
- El contador que va desde \(0\) hasta \(n\) en \(\sum_{k=0}^{n}\). Identifica la posición de cada término y establece las potencias \(a^{n-k}b^{k}\).
- \(\binom{n}{k}\) — coeficiente binomial
- Lea "n elige k", calculado como \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). Es el multiplicador numérico (también la cantidad de formas de elegir \(k\) elementos de \(n\)) en el término con índice \(k\).
- Un término único
- Un sumando completo de la forma \(\binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^{k}\): un coeficiente multiplicado por una potencia de \(a\) y una potencia de \(b\), cuyos exponentes siempre suman \(n\).
Preguntas frecuentes
¿Puede n ser una fracción o un número negativo? Esta calculadora admite exponentes enteros no negativos (del 0 al 20), en cuyo caso el desarrollo tiene exactamente n + 1 términos.
¿Qué significa la fila de la suma de términos? Suma todos los términos desarrollados como comprobación; siempre debe coincidir con el valor indicado de \((a + b)^{n}\).
¿Por qué la lista de coeficientes usa C(n,k)? \(C(n,k)\) es la notación estándar del coeficiente binomial, igual a \(n! / (k!(n-k)!)\), y representa el multiplicador de cada término.
