Что такое калькулятор биномиального разложения?
Этот инструмент раскрывает выражение \((a + b)^{n}\) по формуле бинома Ньютона. Он возвращает числовое значение выражения, количество слагаемых, а также полный список всех биномиальных коэффициентов \(C(n,k)\) вместе с каждым отдельным слагаемым. Калькулятор работает с любым целым неотрицательным показателем степени до 20 и любыми действительными коэффициентами \(a\) и \(b\).
Как пользоваться калькулятором
Введите коэффициент первого слагаемого a, коэффициент второго слагаемого b и показатель степени n. Нажмите «Рассчитать». В верхнем блоке отобразится итоговое значение \((a + b)^{n}\), а таблица покажет число слагаемых и сумму всех членов разложения (она обязательно должна совпадать с этим значением). В блоке разложения перечислены все коэффициенты и слагаемые — удобно для самопроверки.
Разбор формулы
Согласно формуле бинома Ньютона, \((a + b)^{n}\) равно сумме по \(k\) от 0 до \(n\) выражений \(C(n,k) \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}\). Коэффициенты \(C(n,k)\) образуют строку треугольника Паскаля. Мы вычисляем их эффективно по рекуррентной формуле $$C(n,k) = C(n,k-1) \cdot \frac{n - k + 1}{k},$$ избегая громоздких факториалов.
$$\left(a + b\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$
Пример расчёта
Для \((1 + 1)^{4}\) коэффициенты равны 1, 4, 6, 4, 1. Поскольку \(a = b = 1\), каждое слагаемое совпадает со своим коэффициентом, поэтому разложение даёт $$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16,$$ что соответствует \(2^{4} = 16\). Калькулятор выдаёт 5 слагаемых и значение 16.
Частые вопросы
Может ли n быть дробным или отрицательным? Этот калькулятор поддерживает только целые неотрицательные показатели степени (от 0 до 20), при которых разложение содержит ровно \(n + 1\) слагаемое.
Что означает строка с суммой слагаемых? Она складывает все члены разложения для проверки: результат всегда должен совпадать с найденным значением \((a + b)^{n}\).
Почему в списке коэффициентов используется обозначение C(n,k)? \(C(n,k)\) — это стандартное обозначение биномиального коэффициента, равного \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\), который задаёт множитель при каждом слагаемом.
Справочник треугольника Паскаля (строки n = 0 до 10)
Каждая строка \(n\) треугольника Паскаля содержит биномиальные коэффициенты \(\binom{n}{k}\) для \(k = 0, 1, \dots, n\). Это ровно те коэффициенты, которые появляются при разложении \((a+b)^n\). Каждый внутренний элемент равен сумме двух элементов, расположенных прямо над ним, и элементы в каждой строке суммируются в \(2^n\).
| \(n\) | Коэффициенты \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}\) | Сумма строки \(2^n\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1, 1 | 2 |
| 2 | 1, 2, 1 | 4 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | 8 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | 16 |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 | 32 |
| 6 | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 | 64 |
| 7 | 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 | 128 |
| 8 | 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 | 256 |
| 9 | 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 | 512 |
| 10 | 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 | 1024 |
Например, средний коэффициент в строке 10 — это 252, находящийся при \(k=5\). Каждая строка симметрична, потому что \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).
Дополнительные решённые примеры
Пример 1: \((x+2)^3\)
Здесь \(a=x\), \(b=2\) и \(n=3\). Коэффициенты строки 3: \(1, 3, 3, 1\). Подставляем в \(\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}x^{3-k}2^{k}\):
$$\binom{3}{0}x^3(2)^0 + \binom{3}{1}x^2(2)^1 + \binom{3}{2}x^1(2)^2 + \binom{3}{3}x^0(2)^3$$$$= 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2\cdot 2 + 3\cdot x\cdot 4 + 1\cdot 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$Степени \(x\) убывают \(3 \to 0\), а степени \(2\) возрастают \(0 \to 3\).
Пример 2: \((2a-b)^4\) — чередующиеся знаки
Запишем вычитание как \(b \to -b\), поэтому базовые члены — это \(2a\) и \(-b\), с \(n=4\) и коэффициентами \(1, 4, 6, 4, 1\):
$$\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}(2a)^{4-k}(-b)^{k}$$$$= 1(2a)^4 + 4(2a)^3(-b) + 6(2a)^2(-b)^2 + 4(2a)(-b)^3 + 1(-b)^4$$$$= 16a^4 - 32a^3 b + 24a^2 b^2 - 8a b^3 + b^4$$Так как \((-b)^k\) отрицательно при нечётных \(k\) и положительно при чётных \(k\), знаки чередуются \(+,-,+,-,+\).
Пример 3: \((x+1)^6\) — явные возрастающие и убывающие степени
При \(a=x\), \(b=1\), \(n=6\) коэффициенты строки 6: \(1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\). Поскольку всякая степень \(1\) равна \(1\), коэффициенты появляются непосредственно:
$$(x+1)^6 = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$$Центральный коэффициент \(20\) равен 20, то есть \(\binom{6}{3}\). Показатель степени \(x\) убывает от \(6\) к \(0\) по семи членам.
Ключевые термины и переменные
- \(a\) — первый базовый член
- Первая величина внутри бинома \((a+b)^n\). В каждом разложенном члене она возводится в убывающую степень \(a^{n-k}\).
- \(b\) — второй базовый член
- Вторая величина внутри бинома. Она возводится в возрастающую степень \(b^{k}\). Для вычитания \((a-b)^n\) считайте \(b\) отрицательным, чтобы знаки чередовались.
- \(n\) — показатель (степень)
- Власть, в которую возводится бином. Для неотрицательного целого \(n\) разложение содержит ровно \(n+1\) членов, и \(n\) выбирает строку \(n\) треугольника Паскаля.
- \(k\) — индекс суммирования
- Счётчик, который пробегает от \(0\) до \(n\) в \(\sum_{k=0}^{n}\). Он определяет положение каждого члена и устанавливает степени \(a^{n-k}b^{k}\).
- \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент
- Читается «n по k», вычисляется как \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). Это численный множитель (также количество способов выбрать \(k\) предметов из \(n\)) члена с индексом \(k\).
- Один член
- Один полный слагаемое вида \(\binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^{k}\): коэффициент, умноженный на степень \(a\) и степень \(b\), чьи показатели всегда в сумме дают \(n\).
