द्विपद विस्तार कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) की मदद से \((a + b)^{n}\) का विस्तार करता है। यह आपको व्यंजक का संख्यात्मक मान, बनने वाले पदों की संख्या, और हर द्विपद गुणांक \(C(n,k)\) की पूरी सूची प्रत्येक पद के साथ दिखाता है। यह 20 तक के किसी भी अऋणात्मक पूर्णांक घातांक और किन्हीं भी वास्तविक गुणांक \(a\) तथा \(b\) के लिए काम करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले पद का गुणांक a, दूसरे पद का गुणांक b, और घातांक n भरें। फिर "गणना करें" दबाएँ। ऊपर का मुख्य बॉक्स \((a + b)^{n}\) का कुल मान दिखाता है, जबकि तालिका पदों की संख्या और सभी विस्तारित पदों का योग दर्शाती है (जो उस मान के बराबर ही होना चाहिए)। विस्तार बॉक्स में हर गुणांक और पद की सूची होती है, ताकि आप अपनी बीजगणितीय गणना जाँच सकें।
सूत्र को समझें
द्विपद प्रमेय के अनुसार, \((a + b)^{n}\) का मान \(k = 0\) से \(n\) तक \(C(n,k) \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}\) के योग के बराबर होता है:
$$\left(a + b\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$
गुणांक \(C(n,k)\) पास्कल त्रिभुज (Pascal's Triangle) की एक पंक्ति बनाते हैं। हम इन्हें कुशलता से पुनरावृत्ति सूत्र \(C(n,k) = C(n,k-1) \cdot (n - k + 1) / k\) से निकालते हैं, जिससे बड़े फैक्टोरियल की गणना से बचा जा सके।
हल किया गया उदाहरण
\((1 + 1)^{4}\) के लिए गुणांक हैं 1, 4, 6, 4, 1। चूँकि \(a = b = 1\) है, इसलिए हर पद अपने गुणांक के बराबर ही होता है, अतः विस्तार है $$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16,$$ जो \(2^{4} = 16\) से मेल खाता है। कैलकुलेटर 5 पद और 16 का मान देता है।
पास्कल के त्रिभुज संदर्भ (पंक्तियाँ n = 0 से 10)
पास्कल के त्रिभुज की प्रत्येक पंक्ति \(n\) द्विपद गुणांक \(\binom{n}{k}\) को सूचीबद्ध करती है जहाँ \(k = 0, 1, \dots, n\)। ये ठीक वे गुणांक हैं जो \((a+b)^n\) को विस्तारित करते समय दिखाई देते हैं। प्रत्येक आंतरिक प्रविष्टि सीधे ऊपर की दो प्रविष्टियों के योग के बराबर होती है, और प्रत्येक पंक्ति में प्रविष्टियों का योग \(2^n\) के बराबर होता है।
| \(n\) | गुणांक \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}\) | पंक्ति योग \(2^n\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1, 1 | 2 |
| 2 | 1, 2, 1 | 4 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | 8 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | 16 |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 | 32 |
| 6 | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 | 64 |
| 7 | 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 | 128 |
| 8 | 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 | 256 |
| 9 | 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 | 512 |
| 10 | 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 | 1024 |
उदाहरण के लिए, पंक्ति 10 में मध्य गुणांक 252 है, जो \(k=5\) पर पाया जाता है। प्रत्येक पंक्ति सममित है क्योंकि \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)।
अधिक हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1: \((x+2)^3\)
यहाँ \(a=x\), \(b=2\), और \(n=3\)। पंक्ति-3 के गुणांक \(1, 3, 3, 1\) हैं। \(\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}x^{3-k}2^{k}\) में प्रतिस्थापित करें:
$$\binom{3}{0}x^3(2)^0 + \binom{3}{1}x^2(2)^1 + \binom{3}{2}x^1(2)^2 + \binom{3}{3}x^0(2)^3$$$$= 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2\cdot 2 + 3\cdot x\cdot 4 + 1\cdot 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$\(x\) की घातें \(3 \to 0\) तक घटती हैं जबकि \(2\) की घातें \(0 \to 3\) तक बढ़ती हैं।
उदाहरण 2: \((2a-b)^4\) — वैकल्पिक चिन्ह
घटाव को \(b \to -b\) के रूप में लिखें, ताकि आधार पद \(2a\) और \(-b\) हों, \(n=4\) के साथ और गुणांक \(1, 4, 6, 4, 1\) हों:
$$\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}(2a)^{4-k}(-b)^{k}$$$$= 1(2a)^4 + 4(2a)^3(-b) + 6(2a)^2(-b)^2 + 4(2a)(-b)^3 + 1(-b)^4$$$$= 16a^4 - 32a^3 b + 24a^2 b^2 - 8a b^3 + b^4$$क्योंकि \((-b)^k\) विषम \(k\) के लिए नकारात्मक है और सम \(k\) के लिए सकारात्मक है, चिन्ह \(+,-,+,-,+\) में वैकल्पिक होते हैं।
उदाहरण 3: \((x+1)^6\) — स्पष्ट आरोही/अवरोही घातें
\(a=x\), \(b=1\), \(n=6\) के साथ, पंक्ति-6 के गुणांक \(1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\) हैं। चूँकि \(1\) की प्रत्येक घात \(1\) है, गुणांक सीधे दिखाई देते हैं:
$$(x+1)^6 = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$$केंद्रीय गुणांक \(20\) 20 के बराबर है, अर्थात् \(\binom{6}{3}\)। \(x\) पर घातांक सात पदों में \(6\) से \(0\) तक घटता है।
मुख्य पद और चर
- \(a\) — प्रथम आधार पद
- द्विपद \((a+b)^n\) के अंदर की पहली मात्रा। प्रत्येक विस्तारित पद में इसे अवरोही घात \(a^{n-k}\) तक बढ़ाया जाता है।
- \(b\) — द्वितीय आधार पद
- द्विपद के अंदर दूसरी मात्रा। इसे आरोही घात \(b^{k}\) तक बढ़ाया जाता है। घटाव \((a-b)^n\) के लिए, \(b\) को नकारात्मक मानें ताकि चिन्ह वैकल्पिक हों।
- \(n\) — घातांक (घात)
- वह घात जिस तक द्विपद को बढ़ाया जाता है। एक अऋणात्मक पूर्णांक \(n\) के लिए, विस्तार में ठीक \(n+1\) पद होते हैं, और \(n\) पास्कल के त्रिभुज की पंक्ति \(n\) को चुनता है।
- \(k\) — योग सूचकांक
- वह प्रमापक जो \(\sum_{k=0}^{n}\) में \(0\) से \(n\) तक चलता है। यह प्रत्येक पद की स्थिति को पहचानता है और घातें \(a^{n-k}b^{k}\) को निर्धारित करता है।
- \(\binom{n}{k}\) — द्विपद गुणांक
- "n चुनाव k" के रूप में पढ़ें, \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) के रूप में गणना की गई। यह संख्यात्मक गुणक है (साथ ही \(n\) से \(k\) वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या भी) सूचकांक \(k\) वाले पद पर।
- एक एकल पद
- फॉर्म \(\binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^{k}\) का एक पूर्ण योज्य: एक गुणांक \(a\) की घात और \(b\) की घात से गुणा किया जाता है, जिनकी घातें हमेशा \(n\) तक जोड़ी जाती हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या \(n\) भिन्न या ऋणात्मक हो सकता है? यह कैलकुलेटर केवल अऋणात्मक पूर्णांक घातांक (0 से 20) का समर्थन करता है, जहाँ विस्तार में ठीक \(n + 1\) पद होते हैं।
पदों के योग वाली पंक्ति का क्या मतलब है? यह सभी विस्तारित पदों को जोड़कर एक जाँच (sanity check) देती है; इसका मान हमेशा \((a + b)^{n}\) के दर्शाए गए मान के बराबर होना चाहिए।
गुणांक सूची में \(C(n,k)\) क्यों लिखा जाता है? \(C(n,k)\) द्विपद गुणांक का मानक संकेतन है, जो \(n! / (k!(n-k)!)\) के बराबर होता है और प्रत्येक पद पर लगने वाला गुणक दर्शाता है।
