Máy tính khai triển nhị thức là gì?
Công cụ này giúp bạn khai triển biểu thức \((a + b)^{n}\) dựa trên định lý nhị thức (định lý nhị thức Newton). Kết quả trả về gồm: giá trị số của biểu thức, số lượng số hạng sinh ra, cùng danh sách đầy đủ tất cả hệ số nhị thức \(C(n,k)\) và từng số hạng riêng lẻ. Máy tính hoạt động với mọi số mũ là số nguyên không âm đến 20 và với mọi hệ số thực a, b.
Cách sử dụng
Bạn chỉ cần nhập hệ số của số hạng thứ nhất a, hệ số của số hạng thứ hai b và số mũ n, rồi bấm tính. Ô kết quả nổi bật sẽ hiển thị tổng giá trị của \((a + b)^{n}\), trong khi bảng bên dưới xác nhận số lượng số hạng và tổng của toàn bộ các số hạng sau khai triển (giá trị này phải bằng đúng giá trị trên). Khung khai triển liệt kê từng hệ số và từng số hạng để bạn dễ dàng đối chiếu, kiểm tra lại phần biến đổi đại số của mình.
Giải thích công thức
Định lý nhị thức phát biểu rằng \((a + b)^{n}\) bằng tổng từ k = 0 đến n của \(C(n,k) \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}\).
$$\left(a + b\right)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$$Các hệ số \(C(n,k)\) chính là một hàng trong tam giác Pascal. Máy tính tính chúng một cách hiệu quả bằng công thức truy hồi $$C(n,k) = C(n,k-1) \cdot \frac{n - k + 1}{k},$$ nhờ đó tránh phải tính những giai thừa rất lớn.
Ví dụ minh họa
Với \((1 + 1)^{4}\): các hệ số lần lượt là 1, 4, 6, 4, 1. Vì a = b = 1 nên mỗi số hạng bằng đúng hệ số của nó, do đó khai triển là $$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16,$$ đúng bằng \(2^{4} = 16\). Máy tính sẽ cho ra 5 số hạng và giá trị bằng 16.
Tài liệu Tam giác Pascal (Các hàng n = 0 đến 10)
Mỗi hàng \(n\) của tam giác Pascal liệt kê các hệ số nhị thức \(\binom{n}{k}\) cho \(k = 0, 1, \dots, n\). Đây chính xác là các hệ số xuất hiện khi khai triển \((a+b)^n\). Mỗi phần tử ở trong được bằng tổng hai phần tử trực tiếp ở trên nó, và các phần tử trong mỗi hàng có tổng bằng \(2^n\).
| \(n\) | Hệ số \(\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}\) | Tổng hàng \(2^n\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1, 1 | 2 |
| 2 | 1, 2, 1 | 4 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | 8 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | 16 |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 | 32 |
| 6 | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 | 64 |
| 7 | 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 | 128 |
| 8 | 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 | 256 |
| 9 | 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1 | 512 |
| 10 | 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 | 1024 |
Ví dụ, hệ số ở giữa trong hàng 10 là 252, được tìm thấy tại \(k=5\). Mỗi hàng đối xứng vì \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).
Thêm các ví dụ đã giải
Ví dụ 1: \((x+2)^3\)
Ở đây \(a=x\), \(b=2\), và \(n=3\). Các hệ số của hàng 3 là \(1, 3, 3, 1\). Thay vào \(\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}x^{3-k}2^{k}\):
$$\binom{3}{0}x^3(2)^0 + \binom{3}{1}x^2(2)^1 + \binom{3}{2}x^1(2)^2 + \binom{3}{3}x^0(2)^3$$$$= 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2\cdot 2 + 3\cdot x\cdot 4 + 1\cdot 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$Các lũy thừa của \(x\) giảm \(3 \to 0\) trong khi các lũy thừa của \(2\) tăng \(0 \to 3\).
Ví dụ 2: \((2a-b)^4\) — dấu xen kẽ
Viết phép trừ dưới dạng \(b \to -b\), vì vậy các hạng tử cơ sở là \(2a\) và \(-b\), với \(n=4\) và hệ số \(1, 4, 6, 4, 1\):
$$\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}(2a)^{4-k}(-b)^{k}$$$$= 1(2a)^4 + 4(2a)^3(-b) + 6(2a)^2(-b)^2 + 4(2a)(-b)^3 + 1(-b)^4$$$$= 16a^4 - 32a^3 b + 24a^2 b^2 - 8a b^3 + b^4$$Vì \((-b)^k\) âm đối với \(k\) lẻ và dương đối với \(k\) chẵn, các dấu xen kẽ \(+,-,+,-,+\).
Ví dụ 3: \((x+1)^6\) — lũy thừa tăng/giảm rõ ràng
Với \(a=x\), \(b=1\), \(n=6\), các hệ số của hàng 6 là \(1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\). Vì mọi lũy thừa của \(1\) đều bằng \(1\), các hệ số xuất hiện trực tiếp:
$$(x+1)^6 = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$$Hệ số trung tâm \(20\) bằng 20, tức là \(\binom{6}{3}\). Số mũ của \(x\) giảm từ \(6\) xuống \(0\) trên bảy hạng tử.
Các thuật ngữ và biến chính
- \(a\) — hạng tử cơ sở thứ nhất
- Lượng thứ nhất bên trong nhị thức \((a+b)^n\). Trong mỗi hạng tử khai triển, nó được nâng lên lũy thừa giảm \(a^{n-k}\).
- \(b\) — hạng tử cơ sở thứ hai
- Lượng thứ hai bên trong nhị thức. Nó được nâng lên lũy thừa tăng \(b^{k}\). Đối với phép trừ \((a-b)^n\), coi \(b\) là âm để các dấu xen kẽ.
- \(n\) — số mũ (bậc)
- Lũy thừa mà nhị thức được nâng lên. Đối với số nguyên không âm \(n\), khai triển có chính xác \(n+1\) hạng tử, và \(n\) lựa chọn hàng \(n\) của tam giác Pascal.
- \(k\) — chỉ số tổng
- Bộ đếm chạy từ \(0\) đến \(n\) trong \(\sum_{k=0}^{n}\). Nó xác định vị trí của mỗi hạng tử và đặt các lũy thừa \(a^{n-k}b^{k}\).
- \(\binom{n}{k}\) — hệ số nhị thức
- Đọc là "n chọn k," được tính là \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\). Nó là bội số số học (cũng là số cách chọn \(k\) vật từ \(n\)) trên hạng tử có chỉ số \(k\).
- Một hạng tử đơn
- Một số hạng tổng hợp hoàn chỉnh có dạng \(\binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^{k}\): một hệ số nhân với lũy thừa của \(a\) và lũy thừa của \(b\), có số mũ luôn cộng lại bằng \(n\).
Câu hỏi thường gặp
n có thể là phân số hoặc số âm không? Máy tính này chỉ hỗ trợ số mũ là số nguyên không âm (từ 0 đến 20), khi đó khai triển có đúng \(n + 1\) số hạng.
Dòng "tổng các số hạng" có ý nghĩa gì? Nó cộng tất cả các số hạng sau khai triển để kiểm tra lại; giá trị này luôn phải bằng giá trị \((a + b)^{n}\) đã báo.
Vì sao danh sách hệ số dùng ký hiệu \(C(n,k)\)? \(C(n,k)\) là ký hiệu chuẩn của hệ số nhị thức, bằng \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\), cho biết hệ số nhân vào mỗi số hạng.
