Công cụ tính số hạng khai triển nhị thức là gì?
Công cụ này giúp bạn tìm một số hạng cụ thể trong khai triển nhị thức \((a + b)^n\) mà không cần khai triển toàn bộ biểu thức. Dù bạn cần số hạng thứ 5, số hạng không chứa biến (số hạng tự do) hay hệ số của một lũy thừa nào đó, công thức số hạng tổng quát sẽ cho ra kết quả ngay lập tức. Đây là một công cụ toán học phổ quát — áp dụng được ở mọi nơi và không phụ thuộc vào quy định riêng của bất kỳ quốc gia nào.
Cách sử dụng
Nhập giá trị của số hạng thứ nhất a, số hạng thứ hai b, số mũ n và vị trí của số hạng cần tìm k (1 là số hạng đầu tiên, 2 là số hạng thứ hai, và cứ thế tiếp tục). Công cụ sẽ trả về hệ số nhị thức \(C(n, r)\), giá trị của số hạng đó cùng các số mũ tương ứng. Lưu ý rằng số hạng thứ \(k\) ứng với \(r = k - 1\).
Giải thích công thức
Số hạng tổng quát trong khai triển của \((a + b)^n\) là:
$$T_{r+1} = \binom{n}{r}\, a^{\,n-r}\, b^{\,r}$$
Trong đó \(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\) là hệ số nhị thức. Số hạng thứ \(k\) ứng với \(r = k - 1\), do đó số hạng đầu tiên có \(r = 0\) còn số hạng cuối cùng có \(r = n\). Tổng các số mũ luôn bằng \(n\): \((n - r) + r = n\).
Ví dụ minh họa
Tìm số hạng thứ 3 của \((2 + 3)^4\). Ở đây \(a = 2\), \(b = 3\), \(n = 4\), \(k = 3\) nên \(r = 2\). Hệ số là \(C(4, 2) = 6\). Vậy số hạng cần tìm là
$$6 \cdot 2^{\,4-2} \cdot 3^2 = 6 \cdot 4 \cdot 9 = 216.$$
Tam Giác Pascal / Bảng Hệ Số Nhị Thức
Các mục dưới đây là hệ số nhị thức \(\binom{n}{r}\). Để tìm số hạng thứ \(k\) của một khai triển, đọc dọc theo hàng \(n\) và lấy giá trị ở cột \(r=k-1\) (các cột được đánh số bắt đầu từ 0). Ví dụ, số hạng thứ 4 của \((a+b)^6\) sử dụng \(r=3\), cho \(\binom{6}{3}=20\).
| n | r=0 | r=1 | r=2 | r=3 | r=4 | r=5 | r=6 | r=7 | r=8 | r=9 | r=10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Mỗi mục bằng tổng của hai mục ở trên nó, và mỗi hàng là đối xứng: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\).
Định Nghĩa & Thuật Ngữ
- \(a\) — số hạng đầu tiên (cơ số)
- Biểu thức hàng đầu bên trong nhị thức \((a+b)^n\). Trong mỗi số hạng, nó được nâng lên lũy thừa \(n-r\).
- \(b\) — số hạng thứ hai (cơ số)
- Biểu thức ở cuối bên trong nhị thức. Trong mỗi số hạng, nó được nâng lên lũy thừa \(r\). Nó có thể âm hoặc là một phân số (ví dụ: \(1/x\)); dấu và dạng của nó được mang qua giá trị của số hạng.
- \(n\) — số mũ (bậc)
- Lũy thừa mà nhị thức được nâng lên. Khai triển đầy đủ có \(n+1\) số hạng, và các số mũ trên \(a\) và \(b\) trong mỗi số hạng luôn cộng lại bằng \(n\).
- \(k\) — số thứ tự của số hạng
- Vị trí của số hạng bạn muốn tìm, được đếm từ 1 (số hạng đầu tiên, \(a^n\), là \(k=1\)). Các giá trị hợp lệ chạy từ \(1\) đến \(n+1\).
- \(r\) — chỉ số hệ số
- Chỉ số dựa trên không được sử dụng trong hệ số nhị thức và lũy thừa, được định nghĩa bởi \(r=k-1\). Nó cũng là lũy thừa trên \(b\).
- \(T_{r+1}\) — số hạng tổng quát
- Công thức cho số hạng thứ \((r+1)\) của khai triển: \(T_{r+1}=\binom{n}{r}\,a^{\,n-r}\,b^{\,r}\). Đặt \(r=k-1\) cho số hạng thứ \(k\).
- \(\binom{n}{r}\) — hệ số nhị thức
- Đọc là "\(n\) chọn \(r\)", nó đếm các cách chọn \(r\) mục từ \(n\) và được tính là \(\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\). Nó là hệ số số (trước bất kỳ dấu nào từ \(a\) hoặc \(b\)) của số hạng.
Câu hỏi thường gặp
\(k\) có ý nghĩa gì? \(k\) là số thứ tự của số hạng, đếm bắt đầu từ 1. Số hạng thứ \(k\) tương ứng với \(r = k - 1\) trong công thức.
Làm sao để tìm số hạng tự do (không chứa biến)? Với biểu thức dạng \((x + 1/x)^n\), hãy cho tổng số mũ của \(x\) bằng 0 rồi giải tìm \(r\), sau đó dùng giá trị \(r\) đó (với \(k = r + 1\)) trong công cụ này.
\(a\) và \(b\) có thể là số âm hoặc phân số không? Có — công cụ tính trực tiếp giá trị số học của \(a^{\,n-r} \cdot b^{\,r}\), nên số âm và số thập phân đều dùng được.
