Qu'est-ce que le calculateur de terme du développement binomial ?
Ce calculateur permet de déterminer un terme précis dans le développement de \((a + b)^n\), sans avoir à développer toute l'expression. Que vous cherchiez le 5ᵉ terme, le terme constant ou le coefficient d'une puissance donnée, la formule du terme général vous le fournit directement. C'est un outil mathématique universel : il s'applique partout, sans aucune règle propre à un pays.
Comment l'utiliser
Saisissez la première base a, la deuxième base b, l'exposant n, ainsi que le rang du terme k (1 pour le premier terme, 2 pour le deuxième, et ainsi de suite). Le calculateur affiche le coefficient binomial \(C(n, r)\), la valeur du terme et les exposants correspondants. À noter : le k-ième terme correspond à \(r = k - 1\).
La formule expliquée
Le terme général du développement de \((a + b)^n\) s'écrit :
$$T_{r+1} = \binom{n}{r}\, a^{\,n-r}\, b^{\,r}$$
Ici, \(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\) désigne le coefficient binomial. Le k-ième terme correspond à \(r = k - 1\) : le premier terme a donc \(r = 0\) et le dernier terme \(r = n\). La somme des exposants vaut toujours \(n\) : \((n - r) + r = n\).
Exemple résolu
Cherchons le 3ᵉ terme de \((2 + 3)^4\). On a \(a = 2\), \(b = 3\), \(n = 4\), \(k = 3\), donc \(r = 2\). Le coefficient est \(C(4, 2) = 6\). Le terme vaut alors
$$6 \cdot 2^{\,4-2} \cdot 3^2 = 6 \cdot 4 \cdot 9 = 216.$$
Triangle de Pascal / Tableau des coefficients binomiaux
Les entrées ci-dessous sont les coefficients binomiaux \(\binom{n}{r}\). Pour trouver le \(k\)ème terme d'une expansion, lisez la ligne \(n\) et prenez la valeur dans la colonne \(r=k-1\) (les colonnes sont numérotées à partir de 0). Par exemple, le 4ème terme de \((a+b)^6\) utilise \(r=3\), donnant \(\binom{6}{3}=20\).
| n | r=0 | r=1 | r=2 | r=3 | r=4 | r=5 | r=6 | r=7 | r=8 | r=9 | r=10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
Chaque entrée égale la somme des deux entrées au-dessus, et chaque ligne est symétrique : \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\).
Définitions et glossaire
- \(a\) — premier terme (base)
- L'expression principale à l'intérieur du binôme \((a+b)^n\). Dans chaque terme, elle est élevée à la puissance \(n-r\).
- \(b\) — deuxième terme (base)
- L'expression finale à l'intérieur du binôme. Dans chaque terme, elle est élevée à la puissance \(r\). Elle peut être négative ou une réciproque (p. ex. \(1/x\)) ; son signe et sa forme se transmettent à la valeur du terme.
- \(n\) — exposant (degré)
- La puissance à laquelle le binôme est élevé. L'expansion complète contient \(n+1\) termes, et les exposants sur \(a\) et \(b\) dans chaque terme somment toujours à \(n\).
- \(k\) — numéro du terme
- La position du terme recherché, comptée à partir de 1 (le premier terme, \(a^n\), est \(k=1\)). Les valeurs valides vont de \(1\) à \(n+1\).
- \(r\) — indice du coefficient
- L'indice de base zéro utilisé dans le coefficient binomial et les puissances, défini par \(r=k-1\). C'est aussi la puissance sur \(b\).
- \(T_{r+1}\) — terme général
- La formule du \((r+1)\)ème terme de l'expansion : \(T_{r+1}=\binom{n}{r}\,a^{\,n-r}\,b^{\,r}\). En établissant \(r=k-1\), on obtient le \(k\)ème terme.
- \(\binom{n}{r}\) — coefficient binomial
- Lu « \(n\) parmi \(r\) », il compte les façons de choisir \(r\) éléments parmi \(n\) et se calcule comme \(\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\). C'est le coefficient numérique (avant tout signe provenant de \(a\) ou \(b\)) du terme.
Questions fréquentes
Que représente k ? \(k\) est le numéro du terme, compté à partir de 1. Le k-ième terme utilise \(r = k - 1\) dans la formule.
Comment trouver le terme constant ? Pour des expressions du type \((x + 1/x)^n\), il suffit d'annuler la puissance nette de \(x\) et de résoudre l'équation pour \(r\), puis d'utiliser ce \(r\) (avec \(k = r + 1\)) ici.
a et b peuvent-ils être négatifs ou fractionnaires ? Oui — le calculateur évalue \(a^{\,n-r} \cdot b^{\,r}\) numériquement, les valeurs négatives et décimales fonctionnent donc parfaitement.
