ما هي حاسبة الحد في النشر الثنائي؟
تتيح لك هذه الحاسبة إيجاد حدٍّ واحد محدد في نشر العبارة \((a + b)^n\) من دون الحاجة إلى نشر العبارة بالكامل. سواء كنت تبحث عن الحد الخامس، أو الحد الثابت، أو معامل قوة معينة، فإن صيغة الحد العام تمنحك النتيجة مباشرةً. وهي أداة رياضية عامة تصلح في أي مكان، ولا تخضع لأي قواعد خاصة ببلد معين.
طريقة الاستخدام
أدخِل قيمة الأساس الأول a، وقيمة الأساس الثاني b، والأُس n، ثم ترتيب الحد k (الرقم 1 للحد الأول، و2 للحد الثاني، وهكذا). تعيد الحاسبة المعامل الثنائي \(C(n, r)\)، وقيمة الحد، والأُسس المرتبطة به. لاحظ أن الحد رقم \(k\) يستخدم القيمة \(r = k - 1\).
شرح الصيغة
الحد العام في نشر العبارة \((a + b)^n\) هو:
$$T_{r+1} = C(n, r) \cdot a^{n-r} \cdot b^r$$
حيث \(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\) هو المعامل الثنائي. يقابل الحد رقم \(k\) القيمة \(r = k - 1\)، أي إن الحد الأول يكون عنده \(r = 0\)، والحد الأخير يكون عنده \(r = n\). ومجموع الأُسَّين يساوي \(n\) دائمًا: \((n - r) + r = n\).
مثال محلول
أوجد الحد الثالث في نشر \((2 + 3)^4\). هنا \(a = 2\)، و\(b = 3\)، و\(n = 4\)، و\(k = 3\)، فيكون \(r = 2\). المعامل هو \(C(4, 2) = 6\). ومن ثَمَّ يكون الحد: $$6 \cdot 2^{4-2} \cdot 3^2 = 6 \cdot 4 \cdot 9 = 216.$$
مثلث باسكال / جدول معاملات ذات الحدين
الإدخالات أدناه هي معاملات ذات الحدين \(\binom{n}{r}\). للعثور على الحد \(k\)th من التوسع، اقرأ على طول الصف \(n\) وخذ القيمة في العمود \(r=k-1\) (يتم ترقيم الأعمدة بدءاً من 0). على سبيل المثال، الحد الرابع لـ \((a+b)^6\) يستخدم \(r=3\)، مما يعطي \(\binom{6}{3}=20\).
| n | r=0 | r=1 | r=2 | r=3 | r=4 | r=5 | r=6 | r=7 | r=8 | r=9 | r=10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
كل إدخال يساوي مجموع الإدخالتين أعلاه، وكل صف متماثل: \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\).
التعاريف والمسرد
- \(a\) — الحد الأول (الأساس)
- التعبير الرئيسي داخل ذات الحدين \((a+b)^n\). في كل حد، يتم رفعه إلى القوة \(n-r\).
- \(b\) — الحد الثاني (الأساس)
- التعبير الزائد داخل ذات الحدين. في كل حد، يتم رفعه إلى القوة \(r\). قد يكون سالباً أو متبادلاً (مثل \(1/x\))؛ يتم نقل علامته وصيغته من خلال قيمة الحد.
- \(n\) — الأس (الدرجة)
- القوة التي يتم رفع ذات الحدين إليها. يحتوي التوسع الكامل على \(n+1\) حد، والأسس على \(a\) و\(b\) في كل حد يجمعان دائماً إلى \(n\).
- \(k\) — رقم الحد
- موضع الحد الذي تريده، محسوباً من 1 (الحد الأول، \(a^n\)، هو \(k=1\)). القيم الصحيحة تتراوح من \(1\) إلى \(n+1\).
- \(r\) — مؤشر المعامل
- المؤشر القائم على الصفر المستخدم في معامل ذات الحدين والقوى، المعرّف بـ \(r=k-1\). وهو أيضاً القوة على \(b\).
- \(T_{r+1}\) — الحد العام
- الصيغة لـ \((r+1)\)th حد من التوسع: \(T_{r+1}=\binom{n}{r}\,a^{\,n-r}\,b^{\,r}\). تحديد \(r=k-1\) يعطي الحد \(k\)th.
- \(\binom{n}{r}\) — معامل ذات الحدين
- اقرأ "\(n\) اختر \(r\)"، وهي تحسب الطرق لاختيار \(r\) عنصراً من \(n\) وتُحسب كـ \(\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\). إنه المعامل العددي (قبل أي علامة من \(a\) أو \(b\)) للحد.
الأسئلة الشائعة
ماذا تعني k؟ الرمز \(k\) هو ترتيب الحد بدءًا من 1. ويستخدم الحد رقم \(k\) القيمة \(r = k - 1\) في الصيغة.
كيف أجد الحد الثابت؟ في عبارات مثل \((x + 1/x)^n\)، اجعل القوة الصافية للمتغير \(x\) مساوية للصفر وحُلَّ المعادلة لإيجاد \(r\)، ثم استخدم هذه القيمة (مع \(k = r + 1\)) هنا.
هل يمكن أن تكون a وb سالبتين أو كسريتين؟ نعم — تحسب الأداة قيمة \(a^{n-r} \cdot b^r\) عدديًّا، لذا فإن الأعداد السالبة والكسور العشرية تعمل بلا مشكلة.
