什么是二项式展开通项计算器？
这款计算器无需把整个 \((a + b)^n\) 全部展开，就能直接求出展开式中的某一指定项。无论你想求第 5 项、常数项，还是某个特定次幂的系数，借助通项公式都能一步算出。它是一款通用的数学工具，适用于任何场合，不涉及任何特定国家或地区的规则。
如何使用
依次输入第一项底数 a、第二项底数 b、指数 n，以及项的位置 k（第 1 项填 1，第 2 项填 2，以此类推）。计算器会返回二项式系数 \(C(n, r)\)、该项的数值，以及对应的两个指数。请注意：第 \(k\) 项对应的是 \(r = k - 1\)。
公式详解
\((a + b)^n\) 展开式的通项为：
$$T_{r+1} = C(n, r) \cdot a^{\,n-r} \cdot b^{\,r}$$
其中 \(C(n, r) = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\) 即二项式系数。第 \(k\) 项对应 \(r = k - 1\)，因此第一项的 \(r = 0\)，最后一项的 \(r = n\)。两个指数之和恒等于 \(n\)，即 \((n - r) + r = n\)。
例题演示
求 \((2 + 3)^4\) 展开式的第 3 项。此时 \(a = 2\)，\(b = 3\)，\(n = 4\)，\(k = 3\)，所以 \(r = 2\)。系数为 \(C(4, 2) = 6\)，该项即 $$6 \cdot 2^{\,4-2} \cdot 3^2 = 6 \cdot 4 \cdot 9 = 216.$$
帕斯卡三角 / 二项式系数表
下面的条目是二项式系数 \(\binom{n}{r}\)。要找展开式的第 \(k\) 项，请沿第 \(n\) 行读取，并取列 \(r=k-1\) 中的值（列从 0 开始编号）。例如，\((a+b)^6\) 的第 4 项使用 \(r=3\)，得到 \(\binom{6}{3}=20\)。
| n | r=0 | r=1 | r=2 | r=3 | r=4 | r=5 | r=6 | r=7 | r=8 | r=9 | r=10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 |
每一个条目等于它上面两个条目的和，每一行都是对称的：\(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\)。
定义与词汇表
- \(a\) — 首项（底数）
- 二项式 \((a+b)^n\) 中的首项表达式。在每一项中，它被提升到 \(n-r\) 次幂。
- \(b\) — 第二项（底数）
- 二项式中的末项表达式。在每一项中，它被提升到 \(r\) 次幂。它可以是负数或倒数（例如 \(1/x\)）；其符号和形式会传递到该项的值中。
- \(n\) — 指数（次数）
- 二项式被提升的次幂。完整展开式有 \(n+1\) 项，每一项中 \(a\) 和 \(b\) 的指数总和始终为 \(n\)。
- \(k\) — 项数
- 你想要的项的位置，从 1 开始计数（第一项 \(a^n\) 是 \(k=1\)）。有效值的范围从 \(1\) 到 \(n+1\)。
- \(r\) — 系数指数
- 在二项式系数和幂中使用的从零开始的索引，定义为 \(r=k-1\)。它也是 \(b\) 的幂。
- \(T_{r+1}\) — 通项
- 展开式的第 \((r+1)\) 项的公式：\(T_{r+1}=\binom{n}{r}\,a^{\,n-r}\,b^{\,r}\)。设 \(r=k-1\) 得到第 \(k\) 项。
- \(\binom{n}{r}\) — 二项式系数
- 读作"从 \(n\) 中选择 \(r\)"，它计数从 \(n\) 个项中选择 \(r\) 个项的方法数，计算公式为 \(\binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)。它是该项的数值系数（在任何来自 \(a\) 或 \(b\) 的符号之前）。
常见问题
k 表示什么？ \(k\) 是从 1 开始计数的项的序号。求第 \(k\) 项时，公式中取 \(r = k - 1\)。
怎样求常数项？ 对于像 \((x + 1/x)^n\) 这样的式子，令 \(x\) 的净次幂为 0，解出对应的 \(r\)，再代入这里使用（此时 \(k = r + 1\)）。
a 和 b 可以是负数或分数吗？ 可以。计算器会对 \(a^{\,n-r} \cdot b^{\,r}\) 进行数值计算，所以负数和小数都能正常处理。
