什么是 RREF 计算器？
这款计算器运用高斯-约当消元法，把任意矩阵（最多 6 行 6 列）化为它的简化行阶梯形矩阵（RREF）。RREF 是矩阵唯一的标准形式，借助它可以轻松求解线性方程组、计算矩阵的秩、辨别主元变量与自由变量，并判断向量组是否线性无关。工具还会同时给出矩阵的秩，它等于 RREF 中非零行（即主元行）的数量。
使用方法
先设置行数和列数，然后逐行输入矩阵元素，每行一行，数字之间用空格或逗号分隔。如果是增广矩阵 \([A \mid b]\)，只需把常数列作为最后一列一并填入即可。空白或未填写的位置会自动按 0 处理。点击"计算"，即可看到完全化简后的矩阵及其秩。
原理详解
高斯-约当消元法按从左到右的顺序逐列处理。对每个主元位置，先找到一行在该列上元素非零的行，将其交换到当前位置，再把这一行整体缩放，使主元变成 1；接着用该主元行的倍数去减其余各行，让主元所在列的其他元素全部变为 0。当矩阵满足以下条件时即为 RREF：每个首项（前导元素）都是 1，是其所在列中唯一的非零元素，且位于上一行首项的右侧。
$$\text{RREF}\left( A_{\,m \times n} \right) \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; R$$$$\begin{gathered} \text{RREF}\left( A_{\,m \times n} \right) \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; R \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{r,\,j} &\to \frac{R_{r,\,j}}{R_{r,\,\text{lead}}} \quad (\text{normalize pivot to }1) \\ R_{k,\,j} &\to R_{k,\,j} - R_{k,\,\text{lead}}\, R_{r,\,j} \quad (k \neq r) \\ m &= \text{Rows}, \quad n = \text{Columns} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
实例演示
以矩阵 \([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]\) 为例。先用第 2 行减去第 1 行的 4 倍，得到 \([[1, 2, 3], [0, -3, -6]]\)；再将第 2 行乘以 \(-1/3\)，得到 \([[1, 2, 3], [0, 1, 2]]\)；最后用第 1 行减去第 2 行的 2 倍，得到 \([[1, 0, -1], [0, 1, 2]]\)。这就是它的 RREF，矩阵的秩为 \(2\)。
常见问题
REF 和 RREF 有什么区别？行阶梯形（REF）只要求每个主元下方的元素全为零；而 RREF 还额外要求每个首项都是 1，且主元上方的元素也全为零，因此 RREF 是唯一确定的。
怎样求矩阵的秩？秩就是化简后非零行的数量，结果会显示在计算结果的最上方。
可以用它解方程组吗？可以。输入增广矩阵 \([A \mid b]\)，RREF 会直接给出方程组的解，或显示方程组是否无解、是否存在自由变量。
