¿Qué es la calculadora RREF?
Esta calculadora transforma cualquier matriz (de hasta 6 filas por 6 columnas) en su forma escalonada reducida por filas (RREF, por sus siglas en inglés) mediante la eliminación de Gauss-Jordan. La RREF es una forma canónica única de una matriz que facilita resolver sistemas de ecuaciones lineales, calcular el rango, identificar las variables pivote y libres, y determinar la independencia lineal. La herramienta también muestra el rango, que coincide con el número de filas no nulas (filas pivote) de la RREF.
$$\text{RREF}\left( A_{\,m \times n} \right) \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; R$$$$\begin{gathered} \text{RREF}\left( A_{\,m \times n} \right) \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; R \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{r,\,j} &\to \frac{R_{r,\,j}}{R_{r,\,\text{lead}}} \quad (\text{normalize pivot to }1) \\ R_{k,\,j} &\to R_{k,\,j} - R_{k,\,\text{lead}}\, R_{r,\,j} \quad (k \neq r) \\ m &= \text{Rows}, \quad n = \text{Columns} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Cómo usarla
Indica el número de filas y columnas y escribe los elementos de la matriz, una fila por línea, separando los números con espacios o comas. Para un sistema aumentado [A | b], basta con incluir la columna de términos independientes como última columna. Las casillas vacías o en blanco se interpretan como cero. Pulsa calcular para ver la matriz totalmente reducida y su rango.
El método paso a paso
La eliminación de Gauss-Jordan recorre las columnas de izquierda a derecha. Para cada posición pivote busca una fila con un elemento distinto de cero, la intercambia para colocarla en su sitio, escala esa fila para que el pivote valga 1 y luego resta múltiplos de la fila pivote al resto de filas hasta que el resto de la columna pivote quede en 0. Una matriz está en RREF cuando cada elemento principal vale 1, es el único distinto de cero en su columna y aparece a la derecha del elemento principal de la fila superior.
Ejemplo resuelto
Tomemos la matriz \([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]\). Restamos 4 veces la fila 1 a la fila 2 y obtenemos \([[1, 2, 3], [0, -3, -6]]\). Escalamos la fila 2 por \(-1/3\): \([[1, 2, 3], [0, 1, 2]]\). Restamos 2 veces la fila 2 a la fila 1: \([[1, 0, -1], [0, 1, 2]]\). Esta es la RREF, y el rango es \(2\).
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre la forma escalonada (REF) y la RREF? La forma escalonada por filas (REF) solo exige ceros por debajo de cada pivote, mientras que la RREF requiere además que los elementos principales sean 1 y que haya ceros por encima de cada pivote, lo que la convierte en una forma única.
¿Cómo calculo el rango? El rango es el número de filas no nulas tras la reducción, y se muestra en la parte superior del resultado.
¿Puedo resolver un sistema de ecuaciones? Sí. Introduce la matriz aumentada [A | b]; la RREF te da directamente la solución o indica si el sistema es incompatible o tiene variables libres.
