기약 행 사다리꼴(RREF) 계산기

계산 입력

RREF 계산기란?

이 계산기는 가우스-조던 소거법을 이용해 임의의 행렬(최대 6행 × 6열)을 기약 행 사다리꼴(RREF, Reduced Row Echelon Form)로 변환합니다. RREF는 행렬의 유일한 표준형으로, 연립일차방정식을 풀거나 계수(rank)를 구하고, 피벗 변수와 자유 변수를 구분하며, 선형 독립성을 판별할 때 매우 유용합니다. 또한 이 도구는 행렬의 계수도 함께 알려주는데, 계수는 RREF에서 0이 아닌(피벗) 행의 개수와 같습니다.

$$\text{RREF}\left( A_{\,m \times n} \right) \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; R$$

$$\begin{gathered} \text{RREF}\left( A_{\,m \times n} \right) \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; R \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{r,\,j} &\to \frac{R_{r,\,j}}{R_{r,\,\text{lead}}} \quad (\text{normalize pivot to }1) \\ R_{k,\,j} &\to R_{k,\,j} - R_{k,\,\text{lead}}\, R_{r,\,j} \quad (k \neq r) \\ m &= \text{Rows}, \quad n = \text{Columns} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

사용 방법

먼저 행과 열의 개수를 지정한 뒤, 한 줄에 한 행씩 행렬의 원소를 입력하세요. 숫자는 공백이나 쉼표로 구분하면 됩니다. 확대 행렬 [A | b]를 입력하려면 상수항 열을 맨 마지막 열로 추가하기만 하면 됩니다. 비어 있거나 입력하지 않은 값은 0으로 처리됩니다. 계산 버튼을 누르면 완전히 기약화된 행렬과 계수를 확인할 수 있습니다.

계산 원리

가우스-조던 소거법은 열을 왼쪽에서 오른쪽 순서로 처리합니다. 각 피벗 위치에 대해 0이 아닌 원소를 가진 행을 찾아 해당 위치로 이동(행 교환)시킨 뒤, 그 행에 적절한 수를 곱해 피벗을 1로 만듭니다. 이어서 다른 모든 행에서 피벗 행의 배수를 빼서 해당 피벗 열의 나머지 원소를 모두 0으로 만듭니다. 모든 선행 원소가 1이고, 그 원소가 속한 열에서 유일하게 0이 아닌 값이며, 바로 윗줄의 선행 원소보다 오른쪽에 위치할 때 행렬은 RREF 상태가 됩니다.

행렬 격자에서 기약 행 사다리꼴의 네 가지 조건을 보여주는 도표 — 기약 행 사다리꼴 행렬의 핵심 특징: 계단 모양으로 배열된 선행 1과 각 피벗 위아래의 0.

예제 풀이

행렬 $[[1, 2, 3], [4, 5, 6]]$을 예로 들어 봅시다. 2행에서 1행의 4배를 빼면 $[[1, 2, 3], [0, -3, -6]]$이 됩니다. 2행에 $-1/3$을 곱하면 $[[1, 2, 3], [0, 1, 2]]$가 됩니다. 다시 1행에서 2행의 2배를 빼면 $[[1, 0, -1], [0, 1, 2]]$가 됩니다. 이것이 RREF이며, 계수(rank)는 2입니다.