रिड्यूस्ड रो एकेलॉन फॉर्म (RREF) कैलकुलेटर

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सूत्र (फॉर्मूला)

परिणाम

मैट्रिक्स रैंक

अशून्य पिवट पंक्तियों की संख्या

रिड्यूस्ड रो एकेलॉन फॉर्म

1	0	-1
0	1	2

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1	0	-1
0	1	2

RREF कैलकुलेटर क्या है?

यह कैलकुलेटर किसी भी मैट्रिक्स (अधिकतम 6 पंक्तियाँ × 6 स्तंभ) को गॉस-जॉर्डन विलोपन (Gauss-Jordan elimination) की मदद से उसके रिड्यूस्ड रो एकेलॉन फॉर्म (RREF) में बदल देता है। RREF किसी मैट्रिक्स का एक अनोखा (unique) मानक रूप है, जिससे रैखिक समीकरण-निकाय हल करना, रैंक ज्ञात करना, पिवट और मुक्त चर पहचानना तथा रैखिक स्वतंत्रता जाँचना बहुत आसान हो जाता है। यह टूल रैंक भी बताता है, जो RREF में अशून्य (पिवट) पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है।

$$\text{RREF}\left( A_{\,m \times n} \right) \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; R$$

$$\begin{gathered} \text{RREF}\left( A_{\,m \times n} \right) \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; R \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{r,\,j} &\to \frac{R_{r,\,j}}{R_{r,\,\text{lead}}} \quad (\text{normalize pivot to }1) \\ R_{k,\,j} &\to R_{k,\,j} - R_{k,\,\text{lead}}\, R_{r,\,j} \quad (k \neq r) \\ m &= \text{Rows}, \quad n = \text{Columns} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

इसका उपयोग कैसे करें

पहले पंक्तियों और स्तंभों की संख्या तय करें, फिर मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ हर पंक्ति को एक नई लाइन में लिखें — संख्याओं के बीच में स्पेस या कॉमा लगाएँ। यदि आपके पास संवर्धित निकाय $[A \mid b]$ है, तो स्थिरांक वाले स्तंभ को बस अंतिम स्तंभ के रूप में जोड़ दें। खाली या छूटी हुई प्रविष्टियों को शून्य मान लिया जाता है। पूरी तरह रिड्यूस की गई मैट्रिक्स और उसकी रैंक देखने के लिए कैलकुलेट पर क्लिक करें।

विधि की व्याख्या

गॉस-जॉर्डन विलोपन स्तंभों को बाएँ से दाएँ की ओर एक-एक करके संसाधित करता है। हर पिवट स्थिति के लिए यह ऐसी पंक्ति ढूँढता है जिसमें अशून्य प्रविष्टि हो, उसे सही जगह पर लाने के लिए अदला-बदली करता है, उस पंक्ति को इस तरह गुणा करता है कि पिवट $1$ बन जाए, और फिर बाकी हर पंक्ति में से पिवट पंक्ति के गुणजों को घटाता है ताकि पिवट स्तंभ का शेष भाग $0$ हो जाए। कोई मैट्रिक्स RREF में तब होती है जब उसकी प्रत्येक अग्रणी प्रविष्टि $1$ हो, वह अपने स्तंभ की एकमात्र अशून्य प्रविष्टि हो, और ऊपर वाली पंक्ति की अग्रणी प्रविष्टि की दाईं ओर स्थित हो।

मैट्रिक्स ग्रिड पर रिड्यूस्ड रो एकेलॉन रूप की चार शर्तें दर्शाने वाला आरेख — रिड्यूस्ड रो एकेलॉन रूप वाले मैट्रिक्स की प्रमुख विशेषताएँ: सीढ़ीनुमा पैटर्न में अग्रणी 1, और हर पिवट के ऊपर-नीचे शून्य।

हल किया गया उदाहरण

मैट्रिक्स $[[1, 2, 3], [4, 5, 6]]$ लीजिए। पंक्ति 1 के 4 गुने को पंक्ति 2 से घटाएँ तो मिलता है $[[1, 2, 3], [0, -3, -6]]$। अब पंक्ति 2 को $-1/3$ से गुणा करें: $[[1, 2, 3], [0, 1, 2]]$। फिर पंक्ति 2 के 2 गुने को पंक्ति 1 से घटाएँ: $[[1, 0, -1], [0, 1, 2]]$। यही इसका RREF है, और इसकी रैंक $2$ है।

गॉस-जॉर्डन उन्मूलन द्वारा मैट्रिक्स को रिड्यूस करने के तीन-चरणीय क्रम — गॉस-जॉर्डन उन्मूलन मूल मैट्रिक्स को चरण-दर-चरण उसके रिड्यूस्ड रो एकेलॉन रूप में बदल देता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

REF और RREF में क्या अंतर है? रो एकेलॉन फॉर्म (REF) में केवल हर पिवट के नीचे शून्य होना ज़रूरी है, जबकि RREF में इसके अलावा हर अग्रणी प्रविष्टि का $1$ होना और प्रत्येक पिवट के ऊपर भी शून्य होना ज़रूरी है — इसी वजह से यह रूप अनोखा (unique) होता है।

रैंक कैसे ज्ञात करें? रिडक्शन के बाद बची अशून्य पंक्तियों की संख्या ही रैंक होती है, जो परिणाम में सबसे ऊपर दिखाई जाती है।

क्या मैं समीकरण-निकाय हल कर सकता/सकती हूँ? हाँ। संवर्धित मैट्रिक्स $[A \mid b]$ दर्ज करें; RREF सीधे हल दे देता है या यह बता देता है कि निकाय असंगत है या उसमें मुक्त चर मौजूद हैं।