RREF рдХреИрд▓рдХреБрд▓реЗрдЯрд░ рдХреНрдпрд╛ рд╣реИ?
рдпрд╣ рдХреИрд▓рдХреБрд▓реЗрдЯрд░ рдХрд┐рд╕реА рднреА рдореИрдЯреНрд░рд┐рдХреНрд╕ (рдЕрдзрд┐рдХрддрдо 6 рдкрдВрдХреНрддрд┐рдпрд╛рдБ ├Ч 6 рд╕реНрддрдВрдн) рдХреЛ рдЧреЙрд╕-рдЬреЙрд░реНрдбрди рд╡рд┐рд▓реЛрдкрди (Gauss-Jordan elimination) рдХреА рдорджрдж рд╕реЗ рдЙрд╕рдХреЗ рд░рд┐рдбреНрдпреВрд╕реНрдб рд░реЛ рдПрдХреЗрд▓реЙрди рдлреЙрд░реНрдо (RREF) рдореЗрдВ рдмрджрд▓ рджреЗрддрд╛ рд╣реИред RREF рдХрд┐рд╕реА рдореИрдЯреНрд░рд┐рдХреНрд╕ рдХрд╛ рдПрдХ рдЕрдиреЛрдЦрд╛ (unique) рдорд╛рдирдХ рд░реВрдк рд╣реИ, рдЬрд┐рд╕рд╕реЗ рд░реИрдЦрд┐рдХ рд╕рдореАрдХрд░рдг-рдирд┐рдХрд╛рдп рд╣рд▓ рдХрд░рдирд╛, рд░реИрдВрдХ рдЬреНрдЮрд╛рдд рдХрд░рдирд╛, рдкрд┐рд╡рдЯ рдФрд░ рдореБрдХреНрдд рдЪрд░ рдкрд╣рдЪрд╛рдирдирд╛ рддрдерд╛ рд░реИрдЦрд┐рдХ рд╕реНрд╡рддрдВрддреНрд░рддрд╛ рдЬрд╛рдБрдЪрдирд╛ рдмрд╣реБрдд рдЖрд╕рд╛рди рд╣реЛ рдЬрд╛рддрд╛ рд╣реИред рдпрд╣ рдЯреВрд▓ рд░реИрдВрдХ рднреА рдмрддрд╛рддрд╛ рд╣реИ, рдЬреЛ RREF рдореЗрдВ рдЕрд╢реВрдиреНрдп (рдкрд┐рд╡рдЯ) рдкрдВрдХреНрддрд┐рдпреЛрдВ рдХреА рд╕рдВрдЦреНрдпрд╛ рдХреЗ рдмрд░рд╛рдмрд░ рд╣реЛрддреА рд╣реИред
$$\text{RREF}\left( A_{\,m \times n} \right) \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; R$$
$$\begin{gathered} \text{RREF}\left( A_{\,m \times n} \right) \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; R \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{r,\,j} &\to \frac{R_{r,\,j}}{R_{r,\,\text{lead}}} \quad (\text{normalize pivot to }1) \\ R_{k,\,j} &\to R_{k,\,j} - R_{k,\,\text{lead}}\, R_{r,\,j} \quad (k \neq r) \\ m &= \text{Rows}, \quad n = \text{Columns} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
рдЗрд╕рдХрд╛ рдЙрдкрдпреЛрдЧ рдХреИрд╕реЗ рдХрд░реЗрдВ
рдкрд╣рд▓реЗ рдкрдВрдХреНрддрд┐рдпреЛрдВ рдФрд░ рд╕реНрддрдВрднреЛрдВ рдХреА рд╕рдВрдЦреНрдпрд╛ рддрдп рдХрд░реЗрдВ, рдлрд┐рд░ рдореИрдЯреНрд░рд┐рдХреНрд╕ рдХреА рдкреНрд░рд╡рд┐рд╖реНрдЯрд┐рдпрд╛рдБ рд╣рд░ рдкрдВрдХреНрддрд┐ рдХреЛ рдПрдХ рдирдИ рд▓рд╛рдЗрди рдореЗрдВ рд▓рд┐рдЦреЗрдВ тАФ рд╕рдВрдЦреНрдпрд╛рдУрдВ рдХреЗ рдмреАрдЪ рдореЗрдВ рд╕реНрдкреЗрд╕ рдпрд╛ рдХреЙрдорд╛ рд▓рдЧрд╛рдПрдБред рдпрджрд┐ рдЖрдкрдХреЗ рдкрд╛рд╕ рд╕рдВрд╡рд░реНрдзрд┐рдд рдирд┐рдХрд╛рдп \([A \mid b]\) рд╣реИ, рддреЛ рд╕реНрдерд┐рд░рд╛рдВрдХ рд╡рд╛рд▓реЗ рд╕реНрддрдВрдн рдХреЛ рдмрд╕ рдЕрдВрддрд┐рдо рд╕реНрддрдВрдн рдХреЗ рд░реВрдк рдореЗрдВ рдЬреЛрдбрд╝ рджреЗрдВред рдЦрд╛рд▓реА рдпрд╛ рдЫреВрдЯреА рд╣реБрдИ рдкреНрд░рд╡рд┐рд╖реНрдЯрд┐рдпреЛрдВ рдХреЛ рд╢реВрдиреНрдп рдорд╛рди рд▓рд┐рдпрд╛ рдЬрд╛рддрд╛ рд╣реИред рдкреВрд░реА рддрд░рд╣ рд░рд┐рдбреНрдпреВрд╕ рдХреА рдЧрдИ рдореИрдЯреНрд░рд┐рдХреНрд╕ рдФрд░ рдЙрд╕рдХреА рд░реИрдВрдХ рджреЗрдЦрдиреЗ рдХреЗ рд▓рд┐рдП рдХреИрд▓рдХреБрд▓реЗрдЯ рдкрд░ рдХреНрд▓рд┐рдХ рдХрд░реЗрдВред
рд╡рд┐рдзрд┐ рдХреА рд╡реНрдпрд╛рдЦреНрдпрд╛
рдЧреЙрд╕-рдЬреЙрд░реНрдбрди рд╡рд┐рд▓реЛрдкрди рд╕реНрддрдВрднреЛрдВ рдХреЛ рдмрд╛рдПрдБ рд╕реЗ рджрд╛рдПрдБ рдХреА рдУрд░ рдПрдХ-рдПрдХ рдХрд░рдХреЗ рд╕рдВрд╕рд╛рдзрд┐рдд рдХрд░рддрд╛ рд╣реИред рд╣рд░ рдкрд┐рд╡рдЯ рд╕реНрдерд┐рддрд┐ рдХреЗ рд▓рд┐рдП рдпрд╣ рдРрд╕реА рдкрдВрдХреНрддрд┐ рдвреВрдБрдврддрд╛ рд╣реИ рдЬрд┐рд╕рдореЗрдВ рдЕрд╢реВрдиреНрдп рдкреНрд░рд╡рд┐рд╖реНрдЯрд┐ рд╣реЛ, рдЙрд╕реЗ рд╕рд╣реА рдЬрдЧрд╣ рдкрд░ рд▓рд╛рдиреЗ рдХреЗ рд▓рд┐рдП рдЕрджрд▓рд╛-рдмрджрд▓реА рдХрд░рддрд╛ рд╣реИ, рдЙрд╕ рдкрдВрдХреНрддрд┐ рдХреЛ рдЗрд╕ рддрд░рд╣ рдЧреБрдгрд╛ рдХрд░рддрд╛ рд╣реИ рдХрд┐ рдкрд┐рд╡рдЯ \(1\) рдмрди рдЬрд╛рдП, рдФрд░ рдлрд┐рд░ рдмрд╛рдХреА рд╣рд░ рдкрдВрдХреНрддрд┐ рдореЗрдВ рд╕реЗ рдкрд┐рд╡рдЯ рдкрдВрдХреНрддрд┐ рдХреЗ рдЧреБрдгрдЬреЛрдВ рдХреЛ рдШрдЯрд╛рддрд╛ рд╣реИ рддрд╛рдХрд┐ рдкрд┐рд╡рдЯ рд╕реНрддрдВрдн рдХрд╛ рд╢реЗрд╖ рднрд╛рдЧ \(0\) рд╣реЛ рдЬрд╛рдПред рдХреЛрдИ рдореИрдЯреНрд░рд┐рдХреНрд╕ RREF рдореЗрдВ рддрдм рд╣реЛрддреА рд╣реИ рдЬрдм рдЙрд╕рдХреА рдкреНрд░рддреНрдпреЗрдХ рдЕрдЧреНрд░рдгреА рдкреНрд░рд╡рд┐рд╖реНрдЯрд┐ \(1\) рд╣реЛ, рд╡рд╣ рдЕрдкрдиреЗ рд╕реНрддрдВрдн рдХреА рдПрдХрдорд╛рддреНрд░ рдЕрд╢реВрдиреНрдп рдкреНрд░рд╡рд┐рд╖реНрдЯрд┐ рд╣реЛ, рдФрд░ рдКрдкрд░ рд╡рд╛рд▓реА рдкрдВрдХреНрддрд┐ рдХреА рдЕрдЧреНрд░рдгреА рдкреНрд░рд╡рд┐рд╖реНрдЯрд┐ рдХреА рджрд╛рдИрдВ рдУрд░ рд╕реНрдерд┐рдд рд╣реЛред
рд╣рд▓ рдХрд┐рдпрд╛ рдЧрдпрд╛ рдЙрджрд╛рд╣рд░рдг
рдореИрдЯреНрд░рд┐рдХреНрд╕ \([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]\) рд▓реАрдЬрд┐рдПред рдкрдВрдХреНрддрд┐ 1 рдХреЗ 4 рдЧреБрдиреЗ рдХреЛ рдкрдВрдХреНрддрд┐ 2 рд╕реЗ рдШрдЯрд╛рдПрдБ рддреЛ рдорд┐рд▓рддрд╛ рд╣реИ \([[1, 2, 3], [0, -3, -6]]\)ред рдЕрдм рдкрдВрдХреНрддрд┐ 2 рдХреЛ \(-1/3\) рд╕реЗ рдЧреБрдгрд╛ рдХрд░реЗрдВ: \([[1, 2, 3], [0, 1, 2]]\)ред рдлрд┐рд░ рдкрдВрдХреНрддрд┐ 2 рдХреЗ 2 рдЧреБрдиреЗ рдХреЛ рдкрдВрдХреНрддрд┐ 1 рд╕реЗ рдШрдЯрд╛рдПрдБ: \([[1, 0, -1], [0, 1, 2]]\)ред рдпрд╣реА рдЗрд╕рдХрд╛ RREF рд╣реИ, рдФрд░ рдЗрд╕рдХреА рд░реИрдВрдХ \(2\) рд╣реИред
рдЕрдХреНрд╕рд░ рдкреВрдЫреЗ рдЬрд╛рдиреЗ рд╡рд╛рд▓реЗ рдкреНрд░рд╢реНрди
REF рдФрд░ RREF рдореЗрдВ рдХреНрдпрд╛ рдЕрдВрддрд░ рд╣реИ? рд░реЛ рдПрдХреЗрд▓реЙрди рдлреЙрд░реНрдо (REF) рдореЗрдВ рдХреЗрд╡рд▓ рд╣рд░ рдкрд┐рд╡рдЯ рдХреЗ рдиреАрдЪреЗ рд╢реВрдиреНрдп рд╣реЛрдирд╛ рдЬрд╝рд░реВрд░реА рд╣реИ, рдЬрдмрдХрд┐ RREF рдореЗрдВ рдЗрд╕рдХреЗ рдЕрд▓рд╛рд╡рд╛ рд╣рд░ рдЕрдЧреНрд░рдгреА рдкреНрд░рд╡рд┐рд╖реНрдЯрд┐ рдХрд╛ \(1\) рд╣реЛрдирд╛ рдФрд░ рдкреНрд░рддреНрдпреЗрдХ рдкрд┐рд╡рдЯ рдХреЗ рдКрдкрд░ рднреА рд╢реВрдиреНрдп рд╣реЛрдирд╛ рдЬрд╝рд░реВрд░реА рд╣реИ тАФ рдЗрд╕реА рд╡рдЬрд╣ рд╕реЗ рдпрд╣ рд░реВрдк рдЕрдиреЛрдЦрд╛ (unique) рд╣реЛрддрд╛ рд╣реИред
рд░реИрдВрдХ рдХреИрд╕реЗ рдЬреНрдЮрд╛рдд рдХрд░реЗрдВ? рд░рд┐рдбрдХреНрд╢рди рдХреЗ рдмрд╛рдж рдмрдЪреА рдЕрд╢реВрдиреНрдп рдкрдВрдХреНрддрд┐рдпреЛрдВ рдХреА рд╕рдВрдЦреНрдпрд╛ рд╣реА рд░реИрдВрдХ рд╣реЛрддреА рд╣реИ, рдЬреЛ рдкрд░рд┐рдгрд╛рдо рдореЗрдВ рд╕рдмрд╕реЗ рдКрдкрд░ рджрд┐рдЦрд╛рдИ рдЬрд╛рддреА рд╣реИред
рдХреНрдпрд╛ рдореИрдВ рд╕рдореАрдХрд░рдг-рдирд┐рдХрд╛рдп рд╣рд▓ рдХрд░ рд╕рдХрддрд╛/рд╕рдХрддреА рд╣реВрдБ? рд╣рд╛рдБред рд╕рдВрд╡рд░реНрдзрд┐рдд рдореИрдЯреНрд░рд┐рдХреНрд╕ \([A \mid b]\) рджрд░реНрдЬ рдХрд░реЗрдВ; RREF рд╕реАрдзреЗ рд╣рд▓ рджреЗ рджреЗрддрд╛ рд╣реИ рдпрд╛ рдпрд╣ рдмрддрд╛ рджреЗрддрд╛ рд╣реИ рдХрд┐ рдирд┐рдХрд╛рдп рдЕрд╕рдВрдЧрдд рд╣реИ рдпрд╛ рдЙрд╕рдореЗрдВ рдореБрдХреНрдд рдЪрд░ рдореМрдЬреВрдж рд╣реИрдВред