Что делает калькулятор RREF?
Этот калькулятор приводит любую матрицу (размером до 6 строк на 6 столбцов) к приведённому ступенчатому виду (RREF, от англ. Reduced Row Echelon Form) методом Гаусса — Жордана. RREF — это единственный канонический вид матрицы, который упрощает решение систем линейных уравнений, нахождение ранга, выделение базисных и свободных переменных, а также проверку линейной независимости. Кроме того, инструмент показывает ранг матрицы, который равен числу ненулевых (ведущих) строк в RREF.
Как пользоваться
Укажите количество строк и столбцов, а затем введите элементы матрицы — по одной строке в каждой строчке поля ввода, разделяя числа пробелами или запятыми. Если у вас расширенная (присоединённая) матрица системы \([A \mid b]\), просто впишите столбец свободных членов последним. Пропущенные или пустые ячейки считаются нулями. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть полностью приведённую матрицу и её ранг.
Как работает метод
Метод Гаусса — Жордана обрабатывает столбцы слева направо. Для каждой ведущей позиции он находит строку с ненулевым элементом, переставляет её на нужное место, делит эту строку так, чтобы ведущий элемент стал равен 1, а затем вычитает кратные ведущей строки из всех остальных строк, чтобы в ведущем столбце остался единственный ненулевой элемент. Матрица находится в виде RREF, когда каждый ведущий элемент равен 1, является единственным ненулевым числом в своём столбце и стоит правее ведущего элемента строки, расположенной выше.
$$\begin{gathered} \text{RREF}\left( A_{\,m \times n} \right) \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; R \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{r,\,j} &\to \frac{R_{r,\,j}}{R_{r,\,\text{lead}}} \quad (\text{normalize pivot to }1) \\ R_{k,\,j} &\to R_{k,\,j} - R_{k,\,\text{lead}}\, R_{r,\,j} \quad (k \neq r) \\ m &= \text{Rows}, \quad n = \text{Columns} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Разбор примера
Возьмём матрицу \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}\). Вычтем из второй строки первую, умноженную на 4, и получим \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \end{bmatrix}\). Умножим вторую строку на \(-\tfrac{1}{3}\): \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\). Теперь вычтем из первой строки вторую, умноженную на 2: \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}\). Это и есть RREF, а ранг матрицы равен 2.
Частые вопросы
Чем отличаются REF и RREF? Ступенчатый вид (REF) требует лишь нулей под каждым ведущим элементом, тогда как RREF дополнительно требует, чтобы ведущие элементы были равны 1, а над ними тоже стояли нули — благодаря этому такой вид единственный.
Как найти ранг? Ранг — это число ненулевых строк после приведения; он отображается в верхней части результата.
Можно ли решить систему уравнений? Да. Введите расширенную матрицу \([A \mid b]\): RREF сразу даёт решение или показывает, что система несовместна либо имеет свободные переменные.
