Что делает этот калькулятор
Этот инструмент переводит выражения из степенной формы в радикальную (форму с корнем) и обратно, а также вычисляет результат. Дробный (рациональный) показатель степени и корень — это два способа записать одну и ту же величину. Зная основание x, числитель m и знаменатель n, выражение \(x^{\frac{m}{n}}\) равно корню n-й степени из x в степени m.
Как пользоваться
Введите основание x, числитель показателя m и знаменатель n (он становится показателем корня). Калькулятор покажет обе формы записи — степенную и эквивалентную ей радикальную — и вычислит числовое значение. Например, при основании 8, числителе 2 и знаменателе 3 вы получите радикальную форму «кубический корень из 8 в квадрате» и значение 4.
Разбор формулы
Правило перевода такое: $$x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{\,m}}$$ Знаменатель дробного показателя задаёт степень корня, а числитель — степень, в которую возводится основание. Действия можно выполнять в любом порядке: сначала извлечь корень \(\sqrt[n]{x}\), затем возвести в степень m, или наоборот — сначала возвести в степень m, а потом извлечь корень n-й степени. Для положительного основания оба способа дают один и тот же действительный результат.
Пример с решением
Переведём \(16^{\frac{3}{4}}\). Здесь \(x = 16\), \(m = 3\), \(n = 4\). В радикальной форме это корень 4-й степени из 16 в кубе, то есть \((\sqrt[4]{16})^3\). Поскольку \(\sqrt[4]{16} = 2\), получаем $$2^3 = 8.$$ Значит, $$16^{\frac{3}{4}} = 8.$$
Частые вопросы
Что означает знаменатель? Знаменатель \(n\) — это показатель корня: \(n = 2\) — это квадратный корень, \(n = 3\) — кубический корень и так далее.
Может ли основание быть отрицательным? Отрицательное основание даёт действительный результат только при нечётном показателе корня; корни чётной степени из отрицательных чисел действительными числами не являются.
Равно ли \(x^{\frac{m}{n}}\) выражению \((x^m)^{\frac{1}{n}}\)? Да. Для положительного основания порядок извлечения корня и возведения в степень не влияет на ответ.
