À quoi sert le calculateur RREF ?
Cet outil transforme n'importe quelle matrice (jusqu'à 6 lignes sur 6 colonnes) en sa forme échelonnée réduite (RREF, pour « Reduced Row Echelon Form ») à l'aide de l'élimination de Gauss-Jordan. La RREF est la forme canonique unique d'une matrice : elle simplifie la résolution des systèmes linéaires, le calcul du rang, l'identification des variables pivots et libres, ainsi que la vérification de l'indépendance linéaire. Le calculateur affiche également le rang, qui correspond au nombre de lignes non nulles (lignes pivots) de la RREF.
Mode d'emploi
Indiquez le nombre de lignes et de colonnes, puis saisissez les coefficients de la matrice à raison d'une ligne par ligne, en séparant les nombres par des espaces ou des virgules. Pour un système augmenté [A | b], il suffit d'ajouter la colonne des constantes comme dernière colonne. Les cases vides ou manquantes sont considérées comme nulles. Cliquez sur « Calculer » pour afficher la matrice entièrement réduite ainsi que son rang.
La méthode expliquée
L'élimination de Gauss-Jordan traite les colonnes de gauche à droite. Pour chaque position de pivot, on cherche une ligne dont le coefficient est non nul, on la permute à la bonne place, on la multiplie par un facteur pour que le pivot vaille 1, puis on soustrait des multiples de cette ligne pivot à toutes les autres lignes afin d'annuler le reste de la colonne. Une matrice est sous forme RREF lorsque chaque coefficient dominant vaut 1, qu'il est le seul élément non nul de sa colonne et qu'il se situe à droite du coefficient dominant de la ligne précédente.
$$\text{RREF}\left( A_{\,m \times n} \right) \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; R$$$$\begin{gathered} \text{RREF}\left( A_{\,m \times n} \right) \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; R \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_{r,\,j} &\to \frac{R_{r,\,j}}{R_{r,\,\text{lead}}} \quad (\text{normalize pivot to }1) \\ R_{k,\,j} &\to R_{k,\,j} - R_{k,\,\text{lead}}\, R_{r,\,j} \quad (k \neq r) \\ m &= \text{Rows}, \quad n = \text{Columns} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Exemple détaillé
Prenons la matrice \([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]\). Soustrayons 4 fois la ligne 1 à la ligne 2, ce qui donne \([[1, 2, 3], [0, -3, -6]]\). Multiplions la ligne 2 par \(-1/3\) : \([[1, 2, 3], [0, 1, 2]]\). Soustrayons enfin 2 fois la ligne 2 à la ligne 1 : \([[1, 0, -1], [0, 1, 2]]\). C'est la forme RREF, et le rang vaut \(2\).
Foire aux questions
Quelle est la différence entre la forme échelonnée (REF) et la RREF ? La forme échelonnée (REF) exige uniquement des zéros sous chaque pivot, tandis que la RREF impose en plus des coefficients dominants égaux à 1 et des zéros au-dessus de chaque pivot, ce qui en fait une forme unique.
Comment déterminer le rang ? Le rang correspond au nombre de lignes non nulles après réduction ; il est affiché en haut du résultat.
Puis-je résoudre un système d'équations ? Oui. Saisissez la matrice augmentée [A | b] : la RREF fournit directement la solution ou indique si le système est incompatible ou comporte des variables libres.
