À quoi sert le calculateur de forme canonique ?
Cet outil transforme une équation du second degré écrite sous sa forme développée, \(y = ax^2 + bx + c\), en forme canonique, \(y = a(x - h)^2 + k\). La forme canonique met immédiatement en évidence le sommet de la parabole ainsi que son axe de symétrie : c'est précisément ce dont vous avez besoin pour tracer la courbe, résoudre des problèmes d'optimisation ou déterminer une valeur maximale ou minimale.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) de votre trinôme. Le calculateur détermine les coordonnées du sommet, \(h\) et \(k\), puis réécrit l'équation sous sa forme canonique. Le coefficient \(a\) reste inchangé : c'est lui qui règle l'ouverture de la parabole et son orientation, vers le haut (\(a > 0\)) ou vers le bas (\(a < 0\)).
La formule expliquée
En complétant le carré dans \(y = ax^2 + bx + c\), on obtient
$$y = a\,(x - h)^2 + k$$Le décalage horizontal vaut \(h = -\dfrac{b}{2a}\), expression identique à celle de l'axe de symétrie. La position verticale est donnée par \(k = c - \dfrac{b^2}{4a}\). En réinjectant \(h\) dans l'équation de départ, on retrouve exactement le même \(k\) : le sommet est donc bien le point \((h, k)\).
Exemple détaillé
Prenons \(y = x^2 - 4x + 3\), soit \(a = 1\), \(b = -4\) et \(c = 3\). On a alors
$$h = -\frac{-4}{2\cdot 1} = 2$$$$k = 3 - \frac{(-4)^2}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$La forme canonique s'écrit \(y = (x - 2)^2 - 1\), avec un sommet en \((2, -1)\).
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si \(a = 0\) ? L'équation devient linéaire (affine) et non plus du second degré : elle n'a donc pas de sommet. Saisissez une valeur de \(a\) non nulle.
\(h\) correspond-il à l'axe de symétrie ? Oui. La droite verticale d'équation \(x = h\) est l'axe de symétrie de la parabole.
\(a\) peut-il être négatif ? Tout à fait. Un \(a\) négatif signifie que la parabole est tournée vers le bas et que le sommet correspond à un maximum.
