Qu'est-ce que le sommet d'une parabole ?
Toute fonction du second degré écrite sous sa forme développée y = ax² + bx + c a pour représentation graphique une parabole. Le sommet est le point d'inflexion de cette courbe : son point le plus bas si la parabole est tournée vers le haut (a > 0), ou son point le plus haut si elle est tournée vers le bas (a < 0). Ce calculateur détermine les coordonnées du sommet (h, k) à partir des coefficients a, b et c.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les trois coefficients de votre trinôme : a (le coefficient de x²), b (le coefficient de x) et c (le terme constant). Le calculateur affiche les coordonnées du sommet (h, k) et réécrit l'équation sous sa forme canonique, y = a(x − h)² + k. Attention : a ne peut pas être nul, sinon l'équation serait linéaire et non une parabole.
La formule expliquée
L'abscisse du sommet se situe sur l'axe de symétrie, à mi-chemin entre les racines : \(h = -\frac{b}{2a}\). En réinjectant cette valeur dans l'équation de départ, on obtient l'ordonnée, qui se simplifie en \(k = c - \frac{b^{2}}{4a}\). Ensemble, (h, k) localisent précisément le sommet.
$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{\text{b}}{2\,\text{a}},\; \text{c} - \frac{\text{b}^{2}}{4\,\text{a}}\right)$$
Exemple résolu
Prenons y = x² − 4x + 3, soit a = 1, b = −4, c = 3. Alors $$h = -\frac{-4}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2.$$ Et $$k = 3 - \frac{(-4)^{2}}{4\cdot1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1.$$ Le sommet est donc (2, −1), et la forme canonique s'écrit y = (x − 2)² − 1.
FAQ
Le sommet est-il un maximum ou un minimum ? Si a est positif, le sommet correspond à un minimum ; si a est négatif, il correspond à un maximum.
Qu'est-ce que l'axe de symétrie ? C'est la droite verticale d'équation \(x = h\), identique à l'abscisse du sommet.
Pourquoi a doit-il être différent de zéro ? Si a = 0, le terme ax² disparaît et le graphique devient une droite, qui n'a pas de sommet.
