Что такое вершина параболы?
Любая квадратичная функция, записанная в стандартном виде y = ax² + bx + c, на графике даёт параболу. Вершина — это точка перегиба этой кривой: самая нижняя точка, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), или самая верхняя, если ветви смотрят вниз (a < 0). Калькулятор вычисляет координаты вершины (h, k) по коэффициентам a, b и c.
Как пользоваться калькулятором
Введите три коэффициента квадратичной функции: a (коэффициент при x²), b (коэффициент при x) и c (свободный член). Калькулятор выдаст координаты вершины (h, k) и перепишет уравнение в форме вершины: \(y = a(x - h)^2 + k\). Учтите, что a не может быть равно нулю — иначе функция станет линейной, и параболы попросту не будет.
Разбор формулы
Абсцисса вершины лежит на оси симметрии, ровно посередине между корнями: \(h = -\frac{b}{2a}\). Подставив это значение обратно в исходное уравнение, получаем ординату, которая упрощается до \(k = c - \frac{b^2}{4a}\). Вместе пара (h, k) точно задаёт положение вершины.
$$\left(h,\,k\right) = \left(-\frac{b}{2a},\; c - \frac{b^{2}}{4a}\right)$$
Пример с решением
Возьмём \(y = x^2 - 4x + 3\), то есть a = 1, b = −4, c = 3. Тогда \(h = -\frac{-4}{2\cdot 1} = \frac{4}{2} = 2\). А \(k = 3 - \frac{(-4)^2}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1\). Вершина находится в точке (2, −1), а уравнение в форме вершины выглядит так: \(y = (x - 2)^2 - 1\).
Частые вопросы
Вершина — это максимум или минимум? Если a положительное, вершина является минимумом; если a отрицательное — максимумом.
Что такое ось симметрии? Это вертикальная прямая \(x = h\), совпадающая с абсциссой вершины.
Почему a не должно быть нулём? При a = 0 слагаемое ax² исчезает, и график превращается в прямую линию, у которой нет вершины.
