Что такое вершина графика функции с модулем?
График функции с модулем имеет форму буквы V (или перевёрнутой V). Единственная точка, где встречаются два прямых луча, — острый угол, в котором график меняет направление, — называется вершиной. Для функции, записанной в общем виде \(y = a|bx + c| + d\), вершина является важнейшей характеристикой: она определяет положение минимума или максимума графика и лежит на оси симметрии. Этот калькулятор находит вершину \((h, k)\), а также ось симметрии, направление раскрытия, наклоны лучей, экстремальное значение, множество значений и область определения.
Как пользоваться этим калькулятором
Введите четыре коэффициента \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) из вашего уравнения \(y = a|bx + c| + d\). Калькулятор возвращает вершину \((h, k)\), ось симметрии \(x = h\), раскрывается ли график вверх или вниз, наклоны двух лучей, минимальное или максимальное значение, а также множество значений и область определения. И \(a\), и \(b\) должны быть отличны от нуля; если хотя бы один равен нулю, график вырождается в горизонтальную прямую и не имеет вершины.
Разбор формулы
V поворачивает точно там, где выражение внутри знака модуля равно нулю, потому что \(|0| = 0\) — это наименьшее значение, которое может дать модуль. Приравнивая внутреннее выражение к нулю, \(bx + c = 0\), получаем x-координату вершины:
$$h = -\frac{c}{b}, \qquad k = d$$y-координата равна просто \(d\), поскольку при \(x = h\) модуль ничего не добавляет и \(y = a \cdot 0 + d = d\). Ось симметрии — это вертикальная прямая \(x = h\). Вдали от вершины график состоит из двух прямых лучей с наклонами \(+a|b|\) справа и \(-a|b|\) слева, так что оба луча имеют величину \(|ab|\). Если \(a > 0\), график раскрывается вверх и \(k\) является минимумом; если \(a < 0\), он раскрывается вниз и \(k\) является максимумом. Область определения всегда — все действительные числа.
Разобранный пример
Найдите вершину \(y = 2|x - 3| + 1\). Здесь \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = -3\) и \(d = 1\).
$$h = -\frac{c}{b} = -\frac{-3}{1} = 3, \qquad k = d = 1$$Итак, вершина — это \((3, 1)\), а ось симметрии — \(x = 3\). Поскольку \(a = 2 > 0\), график раскрывается вверх, поэтому \(k = 1\) является минимальным значением, а множество значений — \(y \ge 1\). Два луча имеют наклоны \(+2\) и \(-2\), каждый величиной \(2\). Область определения — все действительные числа.
Часто задаваемые вопросы
Где находится вершина функции с модулем? Это угол, где встречаются два луча. Для \(y = a|bx + c| + d\) вершина равна \(\left(-\frac{c}{b},\, d\right)\) — приравняйте выражение внутри модуля к нулю, чтобы найти x-координату, и возьмите \(d\) в качестве y-координаты.
Как найти ось симметрии? Ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, \(x = -\frac{c}{b}\). График является зеркальным отражением по обе стороны от этой прямой.
Смещает ли коэффициент a вершину? Нет. Значение \(a\) меняет только крутизну V и то, раскрывается ли она вверх или вниз; вершина остаётся в \(\left(-\frac{c}{b},\, d\right)\). Знак \(a\) определяет, является ли \(k\) минимумом при \(a > 0\) или максимумом при \(a < 0\).
