Что такое размещение (nPr)?
Размещение показывает, сколькими способами можно расставить r элементов, выбранных из множества в n различных элементов, причём порядок имеет значение. Например, определение призёров — первого, второго и третьего места среди группы бегунов — это задача на размещения: если поменять местами двух финишировавших, получится уже другой результат. Этот калькулятор мгновенно вычисляет nPr (обозначается также как \(P(n, r)\)) для любых допустимых значений.
Как пользоваться калькулятором
Введите общее число доступных элементов n и количество элементов, которые нужно расставить, r. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть число различных упорядоченных расстановок. Значение r должно быть меньше или равно n; если r больше n, результат равен 0, поскольку нельзя расставить больше элементов, чем имеется.
Разбор формулы
Формула размещений выглядит так:
$$P(n, r) = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$
Здесь n! (факториал n) — это произведение всех целых положительных чисел до n включительно. Деление n! на (n − r)! «убирает» перестановки тех элементов, которые мы не выбираем, и остаются только упорядоченные выборки из r элементов. На практике это сводится к произведению r убывающих множителей: \(n \times (n-1) \times \ldots \times (n-r+1)\).
Пример с решением
Предположим, у вас есть 10 книг и вы хотите узнать, сколькими способами можно поставить 3 из них на полку в определённом порядке. Тогда:
$$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = \mathbf{720}$$
Итого получается 720 различных упорядоченных расстановок.
Частые вопросы
Чем размещение отличается от сочетания? В размещениях порядок важен, а в сочетаниях — нет. Число сочетаний \(C(n, r)\) равно \(P(n, r)\), делённому на \(r!\).
Чему равно \(P(n, 0)\)? Оно равно 1 — существует ровно один способ ничего не выбрать и ничего не расставить (пустая расстановка).
Может ли r быть больше n? Нет. Если r превышает n, результат равен 0, ведь нельзя расставить больше элементов, чем есть в наличии.
