क्रमचय (nPr) क्या होता है?
क्रमचय यह बताता है कि n अलग-अलग वस्तुओं के समूह में से r वस्तुओं को कितने तरीकों से क्रमबद्ध किया जा सकता है, जहाँ क्रम मायने रखता है। उदाहरण के लिए, दौड़ में शामिल धावकों में से पहला, दूसरा और तीसरा स्थान चुनना एक क्रमचय की समस्या है — दो धावकों की स्थिति आपस में बदलने पर परिणाम भी बदल जाता है। यह कैलकुलेटर किसी भी मान्य मान के लिए तुरंत nPr (जिसे \(P(n, r)\) भी लिखा जाता है) निकाल देता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
उपलब्ध कुल वस्तुओं की संख्या n और जितनी वस्तुओं को आप व्यवस्थित करना चाहते हैं वह संख्या r दर्ज करें। "गणना करें" दबाते ही आपको अलग-अलग क्रमबद्ध व्यवस्थाओं की संख्या दिख जाएगी। r का मान n से छोटा या उसके बराबर होना चाहिए; अगर r का मान n से बड़ा है, तो परिणाम 0 आएगा, क्योंकि आपके पास जितनी वस्तुएँ हैं उससे ज़्यादा को व्यवस्थित नहीं किया जा सकता।
सूत्र की व्याख्या
क्रमचय का सूत्र इस प्रकार है:
$$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$
यहाँ \(n!\) (n फैक्टोरियल) का अर्थ है n तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल। \(n!\) को \((n - r)!\) से भाग देने पर उन वस्तुओं की व्यवस्थाएँ कट जाती हैं जिन्हें आपने नहीं चुना, और केवल r वस्तुओं की क्रमबद्ध व्यवस्थाएँ बच जाती हैं। व्यवहार में यह r घटते हुए गुणकों के गुणनफल के रूप में सरल हो जाता है: \(n \times (n-1) \times \ldots \times (n-r+1)\)।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए आपके पास 10 किताबें हैं और आप जानना चाहते हैं कि इनमें से 3 किताबों को एक शेल्फ़ पर क्रम में कितने तरीकों से रखा जा सकता है। तब:
$$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$$
यानी कुल 720 अलग-अलग क्रमबद्ध व्यवस्थाएँ संभव हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्रमचय और संचय (combination) में क्या अंतर है? क्रमचय में क्रम मायने रखता है; संचय में नहीं। संचय \(C(n, r)\) का मान \(P(n, r)\) को \(r!\) से भाग देने पर मिलता है।
\(P(n, 0)\) का मान क्या होता है? इसका मान 1 होता है — कुछ भी न चुनने और न व्यवस्थित करने का ठीक एक ही तरीका है (खाली व्यवस्था)।
क्या r का मान n से बड़ा हो सकता है? नहीं। अगर r का मान n से बड़ा है, तो परिणाम 0 आएगा, क्योंकि उपलब्ध वस्तुओं से ज़्यादा को व्यवस्थित नहीं किया जा सकता।
