排列計算機（nPr）

輸入計算

項目總數（n）

選取數量（r）

結果

排列數 P(n, r)

720

種順序排法

項目總數（n）	10
選取數量（r）	3
公式	P(n, r) = n! / (n − r)!

什麼是排列（nPr）？

排列指的是從 n 個相異項目中選出 r 個，並考慮先後順序時，所有可能的排法數量。舉例來說，從一群跑者中選出第一名、第二名與第三名，就是一個排列問題——只要對調兩位選手的名次，結果就完全不同。這個計算機能針對任何有效的數值，即時算出 nPr（也常寫成 P(n, r)）。

排列計算有序的排布：相同的元素以不同順序排列就是不同的結果。

如何使用本計算機

輸入可選項目的總數 n，以及你想要排列的數量 r，再按下計算，就能看到所有不同順序排法的總數。其中 r 必須小於或等於 n；如果 r 大於 n，結果會是 0，因為你無法排列出比手上更多的項目。

公式解析

排列公式為：

$$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$

這裡的 n!（n 的階乘）是指 1 到 n 所有正整數的連乘積。用 n! 除以 (n − r)!，相當於消去那些「沒被選到」項目的排列，只留下選出 r 個項目並考慮順序的結果。實際計算時，可以簡化成 r 個遞減因數的乘積：\(n \times (n-1) \times \ldots \times (n-r+1)\)。

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nPr 公式用 n! 除以 (n−r)! 來計算 r 個元素的有序選取數。

實例演練

假設你有 10 本書，想知道把其中 3 本依序擺到書架上有幾種排法，則：

$$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$$

也就是說，共有 720 種不同的順序排法。

常見問題

排列與組合有什麼差別？排列要考慮順序，組合則不必。組合 \(C(n, r)\) 等於 \(P(n, r)\) 再除以 \(r!\)。

P(n, 0) 等於多少？等於 1——因為「什麼都不選、也不排」這件事，剛好只有一種方式（即空排列）。

r 可以大於 n 嗎？不行。如果 r 超過 n，結果會是 0，因為你無法排列出超過現有數量的項目。