Calculateur de permutations (nPr)

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Nombre total d'éléments (n)

Éléments choisis (r)

Résultats

Nombre de permutations P(n, r)

720

arrangements ordonnés

Nombre total d'éléments (n)	10
Éléments choisis (r)	3
Formule	P(n, r) = n! / (n − r)!

Qu'est-ce qu'une permutation (nPr) ?

Une permutation correspond au nombre de façons d'arranger r éléments choisis parmi un ensemble de n éléments distincts, lorsque l'ordre compte. Par exemple, déterminer le 1er, le 2e et le 3e d'une course parmi un groupe de coureurs est un problème de permutation : intervertir deux concurrents donne un résultat différent. Ce calculateur détermine instantanément nPr (aussi noté \(P(n, r)\)) pour toutes les valeurs valides.

Une permutation compte les arrangements ordonnés : les mêmes éléments dans un ordre différent sont des résultats différents.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez le nombre total d'éléments disponibles n ainsi que le nombre d'éléments à arranger r. Cliquez sur « Calculer » pour obtenir le nombre d'arrangements ordonnés distincts. La valeur de r doit être inférieure ou égale à n ; si r est supérieur à n, le résultat est 0, car on ne peut pas arranger plus d'éléments que l'on n'en possède.

La formule expliquée

La formule des permutations est la suivante :

$$P(n,r) = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$

Ici, \(n!\) (factorielle de n) est le produit de tous les entiers positifs jusqu'à n. En divisant \(n!\) par \((n - r)!\), on élimine les arrangements des éléments que l'on ne sélectionne pas, ne conservant que les choix ordonnés de r éléments. En pratique, cela se simplifie en un produit de r facteurs décroissants : \(n \times (n-1) \times \ldots \times (n-r+1)\).

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La formule nPr divise n! par (n−r)! pour compter les sélections ordonnées de r éléments.

Exemple concret

Supposons que vous disposiez de 10 livres et que vous souhaitiez savoir de combien de façons vous pouvez en disposer 3 sur une étagère, dans un ordre précis. Alors :

$$P(10, 3) = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = \mathbf{720}.$$

Il existe donc 720 arrangements ordonnés distincts.

FAQ

Quelle est la différence entre une permutation et une combinaison ? Dans une permutation, l'ordre compte ; dans une combinaison, il n'a pas d'importance. Une combinaison \(C(n, r)\) est égale à \(P(n, r)\) divisé par \(r!\).

Que vaut \(P(n, 0)\) ? Elle vaut 1 : il existe exactement une seule façon de ne rien choisir ni arranger (l'arrangement vide).

r peut-il être supérieur à n ? Non. Si r dépasse n, le résultat est 0, puisqu'on ne peut pas arranger plus d'éléments qu'il n'y en a de disponibles.