Qu'est-ce qu'un arrangement avec répétition ?
Un arrangement avec répétition compte le nombre de dispositions ordonnées que l'on peut former en choisissant r éléments parmi un ensemble de n éléments distincts, chaque élément pouvant être réutilisé autant de fois que l'on veut. Comme l'ordre compte et que les répétitions sont permises, le total augmente très vite : il suit la simple loi de puissance $$P = \text{n}^{\,\text{r}}$$
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez deux valeurs : n, le nombre d'éléments distincts disponibles (par exemple, les 10 chiffres de 0 à 9), et r, le nombre de tirages ou de positions à remplir (par exemple, un code PIN à 4 chiffres). Le calculateur renvoie aussitôt \(\text{n}^{\,\text{r}}\), soit le nombre total d'arrangements ordonnés possibles.
La formule expliquée
Chacune des r positions peut être occupée indépendamment par n'importe lequel des n éléments. D'après le principe multiplicatif, les choix se multiplient : \(n \times n \times \ldots \times n\) (r fois) \(= \text{n}^{\,\text{r}}\). Cela diffère des arrangements sans répétition (\(n!/(n-r)!\)), où chaque élément ne peut être utilisé qu'une seule fois.
Exemple concret
Combien de codes PIN à 4 chiffres peut-on former avec les chiffres de 0 à 9 ? Ici n = 10 et r = 4, donc $$P = 10^4 = 10\,000$$ codes PIN possibles. De même, un mot de passe de 3 caractères utilisant les 26 lettres de l'alphabet donne \(26^3 = 17\,576\) combinaisons.
FAQ
Quand faut-il autoriser la répétition ? Dès qu'un élément peut apparaître plusieurs fois : les chiffres d'un code PIN, les caractères d'un mot de passe ou les jets successifs d'un dé.
Que se passe-t-il si r = 0 ? Par convention, \(\text{n}^0 = 1\) : il existe exactement un arrangement (la sélection vide).
En quoi est-ce différent des combinaisons ? Les combinaisons ne tiennent pas compte de l'ordre, tandis que les arrangements comptent chaque ordre séparément, ce qui aboutit à des totaux plus élevés.
