Что такое размещение с повторениями?
Размещение с повторениями показывает, сколько упорядоченных вариантов можно составить, если выбрать r элементов из набора в n различных элементов, причём каждый элемент допускается использовать сколько угодно раз. Поскольку порядок важен, а повторения разрешены, число вариантов растёт стремительно — оно подчиняется простому степенному правилу $$P = \text{n}^{\,\text{r}}$$
Как пользоваться калькулятором
Введите два значения: n — количество доступных различных элементов (например, 10 цифр от 0 до 9) и r — число выборок или позиций, которые нужно заполнить (например, 4-значный PIN-код). Калькулятор сразу выдаст \(\text{n}^{\,\text{r}}\) — общее количество возможных упорядоченных вариантов.
Разбор формулы
Каждую из r позиций можно независимо заполнить любым из n элементов. По правилу умножения варианты перемножаются: \(n \times n \times \ldots \times n\) (r раз) \(= \text{n}^{\,\text{r}}\). Это отличается от размещений без повторений \(\left(\frac{n!}{(n-r)!}\right)\), где каждый элемент можно использовать только один раз.
Пример с решением
Сколько 4-значных PIN-кодов можно составить из цифр 0–9? Здесь \(n = 10\) и \(r = 4\), поэтому $$P = 10^{4} = 10\,000$$ возможных PIN-кодов. Аналогично, пароль из 3 символов на основе 26 букв даёт \(26^{3} = 17\,576\) комбинаций.
Частые вопросы
Когда применять повторения? Тогда, когда элемент может встречаться более одного раза: цифры в PIN-коде, символы в пароле или результаты бросков игрального кубика.
А если r = 0? По договорённости \(\text{n}^{0} = 1\) — существует ровно один вариант (пустая выборка).
Чем это отличается от сочетаний? В сочетаниях порядок не учитывается, а в размещениях каждый порядок считается отдельно, поэтому итоговые числа получаются больше.
